Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x + 1}\right)^{2 x - 3}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x + 1}\right)^{2 x - 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 1\right) - 3}{x + 1}\right)^{2 x - 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{3}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 1}\right)^{2 x - 3}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x + 1}\right)^{2 x - 3}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 1}{-3}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x + 1}\right)^{2 x - 3}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u - 5}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 6 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-6} = e^{-6}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 2}{x + 1}\right)^{2 x - 3} = e^{-6}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
A la izquierda y a la derecha
[src]
-3 + 2*x
/-2 + x\
lim |------|
x->0+\1 + x /
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x - 2}{x + 1}\right)^{2 x - 3}$$
$$- \frac{1}{8}$$
= (-0.125 + 1.08578663077227e-27j)
-3 + 2*x
/-2 + x\
lim |------|
x->0-\1 + x /
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x - 2}{x + 1}\right)^{2 x - 3}$$
$$- \frac{1}{8}$$
= (-0.125 + 5.9390119882994e-26j)
= (-0.125 + 5.9390119882994e-26j)