Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + 27\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(16 x^{2} - 7 x + 12\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 27}{16 x^{2} + \left(12 - 7 x\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 27}{16 x^{2} - 7 x + 12}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + 27\right)}{\frac{d}{d x} \left(16 x^{2} - 7 x + 12\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2}}{32 x - 7}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 3 x^{2}}{\frac{d}{d x} \left(32 x - 7\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x}{16}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x}{16}\right)$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)