Sr Examen

Otras calculadoras:

Límite de la función (-3+x^3+4*x)/(7-2*x^3+5*x^2)

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
     /       3       \
     | -3 + x  + 4*x |
 lim |---------------|
x->oo|       3      2|
     \7 - 2*x  + 5*x /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(x^{3} - 3\right)}{5 x^{2} + \left(7 - 2 x^{3}\right)}\right)$$
Limit((-3 + x^3 + 4*x)/(7 - 2*x^3 + 5*x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(x^{3} - 3\right)}{5 x^{2} + \left(7 - 2 x^{3}\right)}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^3:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(x^{3} - 3\right)}{5 x^{2} + \left(7 - 2 x^{3}\right)}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{4}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}}}{-2 + \frac{5}{x} + \frac{7}{x^{3}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 + \frac{4}{x^{2}} - \frac{3}{x^{3}}}{-2 + \frac{5}{x} + \frac{7}{x^{3}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{- 3 u^{3} + 4 u^{2} + 1}{7 u^{3} + 5 u - 2}\right)$$
=
$$\frac{- 3 \cdot 0^{3} + 4 \cdot 0^{2} + 1}{-2 + 0 \cdot 5 + 7 \cdot 0^{3}} = - \frac{1}{2}$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(x^{3} - 3\right)}{5 x^{2} + \left(7 - 2 x^{3}\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
oo/-oo,

tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + 4 x - 3\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x^{3} + 5 x^{2} + 7\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(x^{3} - 3\right)}{5 x^{2} + \left(7 - 2 x^{3}\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 4 x - 3}{- 2 x^{3} + 5 x^{2} + 7}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + 4 x - 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 2 x^{3} + 5 x^{2} + 7\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + 4}{- 6 x^{2} + 10 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 4\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 6 x^{2} + 10 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x}{10 - 12 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 6 x}{\frac{d}{d x} \left(10 - 12 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2}$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
Respuesta rápida [src]
-1/2
$$- \frac{1}{2}$$
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(x^{3} - 3\right)}{5 x^{2} + \left(7 - 2 x^{3}\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{4 x + \left(x^{3} - 3\right)}{5 x^{2} + \left(7 - 2 x^{3}\right)}\right) = - \frac{3}{7}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{4 x + \left(x^{3} - 3\right)}{5 x^{2} + \left(7 - 2 x^{3}\right)}\right) = - \frac{3}{7}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{4 x + \left(x^{3} - 3\right)}{5 x^{2} + \left(7 - 2 x^{3}\right)}\right) = \frac{1}{5}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4 x + \left(x^{3} - 3\right)}{5 x^{2} + \left(7 - 2 x^{3}\right)}\right) = \frac{1}{5}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{4 x + \left(x^{3} - 3\right)}{5 x^{2} + \left(7 - 2 x^{3}\right)}\right) = - \frac{1}{2}$$
Más detalles con x→-oo