Tenemos la indeterminación de tipo
oo/-oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + 4 x - 3\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 2 x^{3} + 5 x^{2} + 7\right) = -\infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x + \left(x^{3} - 3\right)}{5 x^{2} + \left(7 - 2 x^{3}\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 4 x - 3}{- 2 x^{3} + 5 x^{2} + 7}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x^{3} + 4 x - 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 2 x^{3} + 5 x^{2} + 7\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 x^{2} + 4}{- 6 x^{2} + 10 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} + 4\right)}{\frac{d}{d x} \left(- 6 x^{2} + 10 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{6 x}{10 - 12 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 6 x}{\frac{d}{d x} \left(10 - 12 x\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2}$$
=
$$- \frac{1}{2}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)