Sr Examen

Otras calculadoras:


((1+x)/(-3+x))^(2*x)

Límite de la función ((1+x)/(-3+x))^(2*x)

cuando
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
             2*x
     /1 + x \   
 lim |------|   
x->oo\-3 + x/   
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x - 3}\right)^{2 x}$$
Limit(((1 + x)/(-3 + x))^(2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x - 3}\right)^{2 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x - 3}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 3\right) + 4}{x - 3}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x - 3} + \frac{4}{x - 3}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x - 3}\right)^{2 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 3}{4}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{4}{x - 3}\right)^{2 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{8 u + 6}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{8 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{8 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{8 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{8}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{8} = e^{8}$$

Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x - 3}\right)^{2 x} = e^{8}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x - 3}\right)^{2 x} = e^{8}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 1}{x - 3}\right)^{2 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 1}{x - 3}\right)^{2 x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 1}{x - 3}\right)^{2 x} = 1$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 1}{x - 3}\right)^{2 x} = 1$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 1}{x - 3}\right)^{2 x} = e^{8}$$
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src]
 8
e 
$$e^{8}$$
Gráfico
Límite de la función ((1+x)/(-3+x))^(2*x)