Sr Examen
x+y=1; 2x+3y=1
Solución
Solución detallada
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$x + y = 1$$
$$2 x + 3 y = 1$$
De ecuación 1 expresamos x
$$x + y = 1$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$x = 1 - y$$
$$x = 1 - y$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$2 x + 3 y = 1$$
Obtenemos:
$$3 y + 2 \left(1 - y\right) = 1$$
$$y + 2 = 1$$
Pasamos el sumando libre 2 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$y = -2 + 1$$
$$y = -1$$
Como
$$x = 1 - y$$
entonces
$$x = 1 - -1$$
$$x = 2$$
Respuesta:
$$x = 2$$
$$y = -1$$
$$x + y = 1$$
$$2 x + 3 y = 1$$
De ecuación 1 expresamos x
$$x + y = 1$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$x = 1 - y$$
$$x = 1 - y$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$2 x + 3 y = 1$$
Obtenemos:
$$3 y + 2 \left(1 - y\right) = 1$$
$$y + 2 = 1$$
Pasamos el sumando libre 2 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$y = -2 + 1$$
$$y = -1$$
Como
$$x = 1 - y$$
entonces
$$x = 1 - -1$$
$$x = 2$$
Respuesta:
$$x = 2$$
$$y = -1$$
Respuesta rápida
$$x_{1} = 2$$
=
$$2$$
=
$$y_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=
=
$$2$$
=
2
$$y_{1} = -1$$
=
$$-1$$
=
-1
Regla de Cramer
$$x + y = 1$$
$$2 x + 3 y = 1$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y = 1$$
$$2 x + 3 y = 1$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\2 x_{1} + 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\2 & 3\end{matrix}\right] \right)} = 1$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\1 & 3\end{matrix}\right] \right)} = 2$$
$$x_{2} = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\2 & 1\end{matrix}\right] \right)} = -1$$
$$2 x + 3 y = 1$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y = 1$$
$$2 x + 3 y = 1$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\2 x_{1} + 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\2 & 3\end{matrix}\right] \right)} = 1$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\1 & 3\end{matrix}\right] \right)} = 2$$
$$x_{2} = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\2 & 1\end{matrix}\right] \right)} = -1$$
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$x + y = 1$$
$$2 x + 3 y = 1$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y = 1$$
$$2 x + 3 y = 1$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\\2 & 3 & 1\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 2 + 2 & \left(-1\right) 2 + 3 & \left(-1\right) 2 + 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & -1\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\\0 & 1 & -1\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & -1\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 0 + 1 & -1 + 1 & 1 - -1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\\0 & 1 & -1\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{1} - 2 = 0$$
$$x_{2} + 1 = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1$$
$$x + y = 1$$
$$2 x + 3 y = 1$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y = 1$$
$$2 x + 3 y = 1$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\\2 & 3 & 1\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 2 + 2 & \left(-1\right) 2 + 3 & \left(-1\right) 2 + 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & -1\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\\0 & 1 & -1\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & -1\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 0 + 1 & -1 + 1 & 1 - -1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\\0 & 1 & -1\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{1} - 2 = 0$$
$$x_{2} + 1 = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -1$$