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Solución de sistemas de ecuaciones/ x+y=1; 2x+3y=1

x+y=1; 2x+3y=1

v

Gráfico:

interior superior

interior superior

Solución

Ha introducido [src] 
x + y = 1
x+y=1x + y = 1 
2*x + 3*y = 1
2x+3y=12 x + 3 y = 1 
2*x + 3*y = 1
Solución detallada
Tenemos el sistema de ecuaciones
x+y=1x + y = 1
2x+3y=12 x + 3 y = 1

De ecuación 1 expresamos x
x+y=1x + y = 1
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
x=1−yx = 1 - y
x=1−yx = 1 - y
Ponemos el resultado x en ecuación 2
2x+3y=12 x + 3 y = 1
Obtenemos:
3y+2(1−y)=13 y + 2 \left(1 - y\right) = 1
y+2=1y + 2 = 1
Pasamos el sumando libre 2 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
y=−2+1y = -2 + 1
y=−1y = -1
Como
x=1−yx = 1 - y
entonces
x=1−−1x = 1 - -1
x=2x = 2

Respuesta:
x=2x = 2
y=−1y = -1
Respuesta rápida
x1=2x_{1} = 2
=
22
=
2

y1=−1y_{1} = -1
=
−1-1
=
-1
Regla de Cramer
x+y=1x + y = 1
2x+3y=12 x + 3 y = 1

Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
x+y=1x + y = 1
2x+3y=12 x + 3 y = 1
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
[x1+x22x1+3x2]=[11]\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\2 x_{1} + 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B

De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:

Como el determinante de la matriz:
A=det⁡([1123])=1A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\2 & 3\end{matrix}\right] \right)} = 1
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
x1=det⁡([1113])=2x_{1} = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\1 & 3\end{matrix}\right] \right)} = 2
x2=det⁡([1121])=−1x_{2} = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\2 & 1\end{matrix}\right] \right)} = -1
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
x+y=1x + y = 1
2x+3y=12 x + 3 y = 1

Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
x+y=1x + y = 1
2x+3y=12 x + 3 y = 1
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
[111231]\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\\2 & 3 & 1\end{matrix}\right]
En 1 de columna
[12]\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
[111]\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\end{matrix}\right]
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
[(−1)2+2(−1)2+3(−1)2+1]=[01−1]\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 2 + 2 & \left(-1\right) 2 + 3 & \left(-1\right) 2 + 1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & -1\end{matrix}\right]
obtenemos
[11101−1]\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1\\0 & 1 & -1\end{matrix}\right]
En 2 de columna
[11]\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
[01−1]\left[\begin{matrix}0 & 1 & -1\end{matrix}\right]
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
[(−1)0+1−1+11−−1]=[102]\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 0 + 1 & -1 + 1 & 1 - -1\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\end{matrix}\right]
obtenemos
[10201−1]\left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\\0 & 1 & -1\end{matrix}\right]

Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
x1−2=0x_{1} - 2 = 0
x2+1=0x_{2} + 1 = 0
Obtenemos como resultado:
x1=2x_{1} = 2
x2=−1x_{2} = -1
Respuesta numérica [src] 
x1 = 2.0
y1 = -1.0
x1 = 2.0
y1 = -1.0
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