Sr Examen
m+n=6; 2m+3n=14
Solución
Solución detallada
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$m + n = 6$$
$$2 m + 3 n = 14$$
De ecuación 1 expresamos m
$$m + n = 6$$
Pasamos el sumando con la variable n de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$m = 6 - n$$
$$m = 6 - n$$
Ponemos el resultado m en ecuación 2
$$2 m + 3 n = 14$$
Obtenemos:
$$3 n + 2 \left(6 - n\right) = 14$$
$$n + 12 = 14$$
Pasamos el sumando libre 12 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$n = -12 + 14$$
$$n = 2$$
Como
$$m = 6 - n$$
entonces
$$m = 6 - 2$$
$$m = 4$$
Respuesta:
$$m = 4$$
$$n = 2$$
$$m + n = 6$$
$$2 m + 3 n = 14$$
De ecuación 1 expresamos m
$$m + n = 6$$
Pasamos el sumando con la variable n de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$m = 6 - n$$
$$m = 6 - n$$
Ponemos el resultado m en ecuación 2
$$2 m + 3 n = 14$$
Obtenemos:
$$3 n + 2 \left(6 - n\right) = 14$$
$$n + 12 = 14$$
Pasamos el sumando libre 12 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$n = -12 + 14$$
$$n = 2$$
Como
$$m = 6 - n$$
entonces
$$m = 6 - 2$$
$$m = 4$$
Respuesta:
$$m = 4$$
$$n = 2$$
Respuesta rápida
$$m_{1} = 4$$
=
$$4$$
=
$$n_{1} = 2$$
=
$$2$$
=
=
$$4$$
=
4
$$n_{1} = 2$$
=
$$2$$
=
2
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$m + n = 6$$
$$2 m + 3 n = 14$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$m + n = 6$$
$$2 m + 3 n = 14$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 6\\2 & 3 & 14\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 6\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 2 + 2 & \left(-1\right) 2 + 3 & 14 - 2 \cdot 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 2\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 6\\0 & 1 & 2\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 2\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 0 + 1 & -1 + 1 & \left(-1\right) 2 + 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 4\\0 & 1 & 2\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{1} - 4 = 0$$
$$x_{2} - 2 = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 2$$
$$m + n = 6$$
$$2 m + 3 n = 14$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$m + n = 6$$
$$2 m + 3 n = 14$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 6\\2 & 3 & 14\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 6\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 2 + 2 & \left(-1\right) 2 + 3 & 14 - 2 \cdot 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 2\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 6\\0 & 1 & 2\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 2\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 0 + 1 & -1 + 1 & \left(-1\right) 2 + 6\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 4\\0 & 1 & 2\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{1} - 4 = 0$$
$$x_{2} - 2 = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = 2$$
Regla de Cramer
$$m + n = 6$$
$$2 m + 3 n = 14$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$m + n = 6$$
$$2 m + 3 n = 14$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\2 x_{1} + 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\2 & 3\end{matrix}\right] \right)} = 1$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}6 & 1\\14 & 3\end{matrix}\right] \right)} = 4$$
$$x_{2} = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 6\\2 & 14\end{matrix}\right] \right)} = 2$$
$$2 m + 3 n = 14$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$m + n = 6$$
$$2 m + 3 n = 14$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\2 x_{1} + 3 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\2 & 3\end{matrix}\right] \right)} = 1$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}6 & 1\\14 & 3\end{matrix}\right] \right)} = 4$$
$$x_{2} = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 6\\2 & 14\end{matrix}\right] \right)} = 2$$