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Solución de sistemas de ecuaciones/ i1+i2-i3=0; i1+0*i2+i3/2=2; 0*i1+i2+i3/2=1

i1+i2-i3=0; i1+0*i2+i3/2=2; 0*i1+i2+i3/2=1

v

Gráfico:

interior superior

interior superior

Solución

Ha introducido [src] 
i1 + i2 - i3 = 0
−i3+(i1+i2)=0- i_{3} + \left(i_{1} + i_{2}\right) = 0 
            i3    
i1 + 0*i2 + -- = 2
            2
i32+(i1+0i2)=2\frac{i_{3}}{2} + \left(i_{1} + 0 i_{2}\right) = 2 
            i3    
0*i1 + i2 + -- = 1
            2
i32+(0i1+i2)=1\frac{i_{3}}{2} + \left(0 i_{1} + i_{2}\right) = 1 
i3/2 + 0*i1 + i2 = 1
Respuesta rápida
i11=54i_{11} = \frac{5}{4}
=
54\frac{5}{4}
=
1.25

i21=14i_{21} = \frac{1}{4}
=
14\frac{1}{4}
=
0.25

i31=32i_{31} = \frac{3}{2}
=
32\frac{3}{2}
=
1.5
Regla de Cramer
−i3+(i1+i2)=0- i_{3} + \left(i_{1} + i_{2}\right) = 0
i32+(i1+0i2)=2\frac{i_{3}}{2} + \left(i_{1} + 0 i_{2}\right) = 2
i32+(0i1+i2)=1\frac{i_{3}}{2} + \left(0 i_{1} + i_{2}\right) = 1

Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
i1+i2−i3=0i_{1} + i_{2} - i_{3} = 0
i1+i32=2i_{1} + \frac{i_{3}}{2} = 2
i2+i32=1i_{2} + \frac{i_{3}}{2} = 1
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
[x1+x2−x3x1+0x2+x320x1+x2+x32]=[021]\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2} - x_{3}\\x_{1} + 0 x_{2} + \frac{x_{3}}{2}\\0 x_{1} + x_{2} + \frac{x_{3}}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0\\2\\1\end{matrix}\right]
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B

De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:

Como el determinante de la matriz:
A=det⁡([11−110120112])=−2A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1 & -1\\1 & 0 & \frac{1}{2}\\0 & 1 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right] \right)} = -2
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
x1=−det⁡([01−120121112])2=54x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}0 & 1 & -1\\2 & 0 & \frac{1}{2}\\1 & 1 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right] \right)}}{2} = \frac{5}{4}
x2=−det⁡([10−112120112])2=14x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 0 & -1\\1 & 2 & \frac{1}{2}\\0 & 1 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right] \right)}}{2} = \frac{1}{4}
x3=−det⁡([110102011])2=32x_{3} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0\\1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1\end{matrix}\right] \right)}}{2} = \frac{3}{2}
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
−i3+(i1+i2)=0- i_{3} + \left(i_{1} + i_{2}\right) = 0
i32+(i1+0i2)=2\frac{i_{3}}{2} + \left(i_{1} + 0 i_{2}\right) = 2
i32+(0i1+i2)=1\frac{i_{3}}{2} + \left(0 i_{1} + i_{2}\right) = 1

Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
i1+i2−i3=0i_{1} + i_{2} - i_{3} = 0
i1+i32=2i_{1} + \frac{i_{3}}{2} = 2
i2+i32=1i_{2} + \frac{i_{3}}{2} = 1
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
[11−101012201121]\left[\begin{matrix}1 & 1 & -1 & 0\\1 & 0 & \frac{1}{2} & 2\\0 & 1 & \frac{1}{2} & 1\end{matrix}\right]
En 1 de columna
[110]\left[\begin{matrix}1\\1\\0\end{matrix}\right]
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
[10122]\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{1}{2} & 2\end{matrix}\right]
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
[−1+1(−1)0+1−1+−12(−1)2]=[01−32−2]\left[\begin{matrix}-1 + 1 & \left(-1\right) 0 + 1 & -1 + \frac{-1}{2} & \left(-1\right) 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & - \frac{3}{2} & -2\end{matrix}\right]
obtenemos
[01−32−21012201121]\left[\begin{matrix}0 & 1 & - \frac{3}{2} & -2\\1 & 0 & \frac{1}{2} & 2\\0 & 1 & \frac{1}{2} & 1\end{matrix}\right]
En 2 de columna
[101]\left[\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}\right]
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
[01−32−2]\left[\begin{matrix}0 & 1 & - \frac{3}{2} & -2\end{matrix}\right]
,
y lo restaremos de otras filas:
De 3 de fila restamos:
[(−1)0−1+112−−321−−2]=[0023]\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 0 & -1 + 1 & \frac{1}{2} - - \frac{3}{2} & 1 - -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 2 & 3\end{matrix}\right]
obtenemos
[01−32−2101220023]\left[\begin{matrix}0 & 1 & - \frac{3}{2} & -2\\1 & 0 & \frac{1}{2} & 2\\0 & 0 & 2 & 3\end{matrix}\right]
En 3 de columna
[−32122]\left[\begin{matrix}- \frac{3}{2}\\\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right]
hacemos que todos los elementos excepto
3 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 3 fila
[0023]\left[\begin{matrix}0 & 0 & 2 & 3\end{matrix}\right]
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
[−(−3)041−(−3)04−32−(−3)24−2−(−3)34]=[01014]\left[\begin{matrix}- \frac{\left(-3\right) 0}{4} & 1 - \frac{\left(-3\right) 0}{4} & - \frac{3}{2} - \frac{\left(-3\right) 2}{4} & -2 - \frac{\left(-3\right) 3}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & \frac{1}{4}\end{matrix}\right]
obtenemos
[01014101220023]\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & \frac{1}{4}\\1 & 0 & \frac{1}{2} & 2\\0 & 0 & 2 & 3\end{matrix}\right]
De 2 de fila restamos:
[1−04−0412−242−34]=[10054]\left[\begin{matrix}1 - \frac{0}{4} & - \frac{0}{4} & \frac{1}{2} - \frac{2}{4} & 2 - \frac{3}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & \frac{5}{4}\end{matrix}\right]
obtenemos
[01014100540023]\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & \frac{1}{4}\\1 & 0 & 0 & \frac{5}{4}\\0 & 0 & 2 & 3\end{matrix}\right]

Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
x2−14=0x_{2} - \frac{1}{4} = 0
x1−54=0x_{1} - \frac{5}{4} = 0
2x3−3=02 x_{3} - 3 = 0
Obtenemos como resultado:
x2=14x_{2} = \frac{1}{4}
x1=54x_{1} = \frac{5}{4}
x3=32x_{3} = \frac{3}{2}
Respuesta numérica [src] 
i11 = 1.25
i21 = 0.25
i31 = 1.5
i11 = 1.25
i21 = 0.25
i31 = 1.5
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