Sr Examen
i1+i2-i3=0; i1+0*i2+i3/2=2; 0*i1+i2+i3/2=1
Solución
Ha introducido
[src]
i1 + i2 - i3 = 0
$$- i_{3} + \left(i_{1} + i_{2}\right) = 0$$
i3
i1 + 0*i2 + -- = 2
2
$$\frac{i_{3}}{2} + \left(i_{1} + 0 i_{2}\right) = 2$$
i3
0*i1 + i2 + -- = 1
2
$$\frac{i_{3}}{2} + \left(0 i_{1} + i_{2}\right) = 1$$
i3/2 + 0*i1 + i2 = 1
Respuesta rápida
$$i_{11} = \frac{5}{4}$$
=
$$\frac{5}{4}$$
=
$$i_{21} = \frac{1}{4}$$
=
$$\frac{1}{4}$$
=
$$i_{31} = \frac{3}{2}$$
=
$$\frac{3}{2}$$
=
=
$$\frac{5}{4}$$
=
1.25
$$i_{21} = \frac{1}{4}$$
=
$$\frac{1}{4}$$
=
0.25
$$i_{31} = \frac{3}{2}$$
=
$$\frac{3}{2}$$
=
1.5
Regla de Cramer
$$- i_{3} + \left(i_{1} + i_{2}\right) = 0$$
$$\frac{i_{3}}{2} + \left(i_{1} + 0 i_{2}\right) = 2$$
$$\frac{i_{3}}{2} + \left(0 i_{1} + i_{2}\right) = 1$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$i_{1} + i_{2} - i_{3} = 0$$
$$i_{1} + \frac{i_{3}}{2} = 2$$
$$i_{2} + \frac{i_{3}}{2} = 1$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2} - x_{3}\\x_{1} + 0 x_{2} + \frac{x_{3}}{2}\\0 x_{1} + x_{2} + \frac{x_{3}}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0\\2\\1\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1 & -1\\1 & 0 & \frac{1}{2}\\0 & 1 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right] \right)} = -2$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}0 & 1 & -1\\2 & 0 & \frac{1}{2}\\1 & 1 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right] \right)}}{2} = \frac{5}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 0 & -1\\1 & 2 & \frac{1}{2}\\0 & 1 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right] \right)}}{2} = \frac{1}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0\\1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1\end{matrix}\right] \right)}}{2} = \frac{3}{2}$$
$$\frac{i_{3}}{2} + \left(i_{1} + 0 i_{2}\right) = 2$$
$$\frac{i_{3}}{2} + \left(0 i_{1} + i_{2}\right) = 1$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$i_{1} + i_{2} - i_{3} = 0$$
$$i_{1} + \frac{i_{3}}{2} = 2$$
$$i_{2} + \frac{i_{3}}{2} = 1$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2} - x_{3}\\x_{1} + 0 x_{2} + \frac{x_{3}}{2}\\0 x_{1} + x_{2} + \frac{x_{3}}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0\\2\\1\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1 & -1\\1 & 0 & \frac{1}{2}\\0 & 1 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right] \right)} = -2$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}0 & 1 & -1\\2 & 0 & \frac{1}{2}\\1 & 1 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right] \right)}}{2} = \frac{5}{4}$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 0 & -1\\1 & 2 & \frac{1}{2}\\0 & 1 & \frac{1}{2}\end{matrix}\right] \right)}}{2} = \frac{1}{4}$$
$$x_{3} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0\\1 & 0 & 2\\0 & 1 & 1\end{matrix}\right] \right)}}{2} = \frac{3}{2}$$
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$- i_{3} + \left(i_{1} + i_{2}\right) = 0$$
$$\frac{i_{3}}{2} + \left(i_{1} + 0 i_{2}\right) = 2$$
$$\frac{i_{3}}{2} + \left(0 i_{1} + i_{2}\right) = 1$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$i_{1} + i_{2} - i_{3} = 0$$
$$i_{1} + \frac{i_{3}}{2} = 2$$
$$i_{2} + \frac{i_{3}}{2} = 1$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & -1 & 0\\1 & 0 & \frac{1}{2} & 2\\0 & 1 & \frac{1}{2} & 1\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\1\\0\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{1}{2} & 2\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-1 + 1 & \left(-1\right) 0 + 1 & -1 + \frac{-1}{2} & \left(-1\right) 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & - \frac{3}{2} & -2\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & - \frac{3}{2} & -2\\1 & 0 & \frac{1}{2} & 2\\0 & 1 & \frac{1}{2} & 1\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & - \frac{3}{2} & -2\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 3 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 0 & -1 + 1 & \frac{1}{2} - - \frac{3}{2} & 1 - -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 2 & 3\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & - \frac{3}{2} & -2\\1 & 0 & \frac{1}{2} & 2\\0 & 0 & 2 & 3\end{matrix}\right]$$
En 3 de columna
$$\left[\begin{matrix}- \frac{3}{2}\\\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
3 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 3 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 2 & 3\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{\left(-3\right) 0}{4} & 1 - \frac{\left(-3\right) 0}{4} & - \frac{3}{2} - \frac{\left(-3\right) 2}{4} & -2 - \frac{\left(-3\right) 3}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & \frac{1}{4}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & \frac{1}{4}\\1 & 0 & \frac{1}{2} & 2\\0 & 0 & 2 & 3\end{matrix}\right]$$
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{0}{4} & - \frac{0}{4} & \frac{1}{2} - \frac{2}{4} & 2 - \frac{3}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & \frac{5}{4}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & \frac{1}{4}\\1 & 0 & 0 & \frac{5}{4}\\0 & 0 & 2 & 3\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{2} - \frac{1}{4} = 0$$
$$x_{1} - \frac{5}{4} = 0$$
$$2 x_{3} - 3 = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{2} = \frac{1}{4}$$
$$x_{1} = \frac{5}{4}$$
$$x_{3} = \frac{3}{2}$$
$$- i_{3} + \left(i_{1} + i_{2}\right) = 0$$
$$\frac{i_{3}}{2} + \left(i_{1} + 0 i_{2}\right) = 2$$
$$\frac{i_{3}}{2} + \left(0 i_{1} + i_{2}\right) = 1$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$i_{1} + i_{2} - i_{3} = 0$$
$$i_{1} + \frac{i_{3}}{2} = 2$$
$$i_{2} + \frac{i_{3}}{2} = 1$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & -1 & 0\\1 & 0 & \frac{1}{2} & 2\\0 & 1 & \frac{1}{2} & 1\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\1\\0\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & \frac{1}{2} & 2\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-1 + 1 & \left(-1\right) 0 + 1 & -1 + \frac{-1}{2} & \left(-1\right) 2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & - \frac{3}{2} & -2\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & - \frac{3}{2} & -2\\1 & 0 & \frac{1}{2} & 2\\0 & 1 & \frac{1}{2} & 1\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\0\\1\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & - \frac{3}{2} & -2\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 3 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 0 & -1 + 1 & \frac{1}{2} - - \frac{3}{2} & 1 - -2\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 2 & 3\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & - \frac{3}{2} & -2\\1 & 0 & \frac{1}{2} & 2\\0 & 0 & 2 & 3\end{matrix}\right]$$
En 3 de columna
$$\left[\begin{matrix}- \frac{3}{2}\\\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
3 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 3 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & 2 & 3\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{\left(-3\right) 0}{4} & 1 - \frac{\left(-3\right) 0}{4} & - \frac{3}{2} - \frac{\left(-3\right) 2}{4} & -2 - \frac{\left(-3\right) 3}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & \frac{1}{4}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & \frac{1}{4}\\1 & 0 & \frac{1}{2} & 2\\0 & 0 & 2 & 3\end{matrix}\right]$$
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{0}{4} & - \frac{0}{4} & \frac{1}{2} - \frac{2}{4} & 2 - \frac{3}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 & \frac{5}{4}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}0 & 1 & 0 & \frac{1}{4}\\1 & 0 & 0 & \frac{5}{4}\\0 & 0 & 2 & 3\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{2} - \frac{1}{4} = 0$$
$$x_{1} - \frac{5}{4} = 0$$
$$2 x_{3} - 3 = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{2} = \frac{1}{4}$$
$$x_{1} = \frac{5}{4}$$
$$x_{3} = \frac{3}{2}$$