Sr Examen
25x^2-120xy+144y^2-242x-298y+491=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 491 - 298*y - 242*x + 25*x + 144*y - 120*x*y = 0
$$25 x^{2} - 120 x y - 242 x + 144 y^{2} - 298 y + 491 = 0$$
25*x^2 - 120*x*y - 242*x + 144*y^2 - 298*y + 491 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$25 x^{2} - 120 x y - 242 x + 144 y^{2} - 298 y + 491 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 25$$
$$a_{12} = -60$$
$$a_{13} = -121$$
$$a_{22} = 144$$
$$a_{23} = -149$$
$$a_{33} = 491$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}25 & -60\\-60 & 144\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{119}{120}$$
entonces
$$\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{119}{120} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{120}{169}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{119}{169}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{12}{13}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{5}{13}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{12 \tilde x}{13} - \frac{5 \tilde y}{13}$$
$$y' = \frac{5 \tilde x}{13} + \frac{12 \tilde y}{13}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$25 x'^{2} - 120 x' y' - 242 x' + 144 y'^{2} - 298 y' + 491 = 0$$
en
$$144 \left(\frac{5 \tilde x}{13} + \frac{12 \tilde y}{13}\right)^{2} - 120 \left(\frac{5 \tilde x}{13} + \frac{12 \tilde y}{13}\right) \left(\frac{12 \tilde x}{13} - \frac{5 \tilde y}{13}\right) - 298 \left(\frac{5 \tilde x}{13} + \frac{12 \tilde y}{13}\right) + 25 \left(\frac{12 \tilde x}{13} - \frac{5 \tilde y}{13}\right)^{2} - 242 \left(\frac{12 \tilde x}{13} - \frac{5 \tilde y}{13}\right) + 491 = 0$$
simplificamos
$$- 338 \tilde x + 169 \tilde y^{2} - 182 \tilde y + 491 = 0$$
$$338 \tilde x - 169 \tilde y^{2} + 182 \tilde y - 491 = 0$$
$$\left(13 \tilde y + 7\right)^{2} = 338 \tilde x - 442$$
$$\left(\tilde y + \frac{7}{13}\right)^{2} = 2 \tilde x - \frac{34}{13}$$
$$\tilde y'^{2} = 2 \tilde x - \frac{34}{13}$$
Esta ecuación es una parábola
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = \frac{0 \cdot 12}{13} + \frac{0 \cdot 5}{13}$$
$$y_{0} = \frac{0 \cdot 5}{13} + \frac{0 \cdot 12}{13}$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{12}{13}, \ \frac{5}{13}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{5}{13}, \ \frac{12}{13}\right)$$
$$25 x^{2} - 120 x y - 242 x + 144 y^{2} - 298 y + 491 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 25$$
$$a_{12} = -60$$
$$a_{13} = -121$$
$$a_{22} = 144$$
$$a_{23} = -149$$
$$a_{33} = 491$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}25 & -60\\-60 & 144\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{119}{120}$$
entonces
$$\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{119}{120} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{120}{169}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{119}{169}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{12}{13}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{5}{13}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{12 \tilde x}{13} - \frac{5 \tilde y}{13}$$
$$y' = \frac{5 \tilde x}{13} + \frac{12 \tilde y}{13}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$25 x'^{2} - 120 x' y' - 242 x' + 144 y'^{2} - 298 y' + 491 = 0$$
en
$$144 \left(\frac{5 \tilde x}{13} + \frac{12 \tilde y}{13}\right)^{2} - 120 \left(\frac{5 \tilde x}{13} + \frac{12 \tilde y}{13}\right) \left(\frac{12 \tilde x}{13} - \frac{5 \tilde y}{13}\right) - 298 \left(\frac{5 \tilde x}{13} + \frac{12 \tilde y}{13}\right) + 25 \left(\frac{12 \tilde x}{13} - \frac{5 \tilde y}{13}\right)^{2} - 242 \left(\frac{12 \tilde x}{13} - \frac{5 \tilde y}{13}\right) + 491 = 0$$
simplificamos
$$- 338 \tilde x + 169 \tilde y^{2} - 182 \tilde y + 491 = 0$$
$$338 \tilde x - 169 \tilde y^{2} + 182 \tilde y - 491 = 0$$
$$\left(13 \tilde y + 7\right)^{2} = 338 \tilde x - 442$$
$$\left(\tilde y + \frac{7}{13}\right)^{2} = 2 \tilde x - \frac{34}{13}$$
$$\tilde y'^{2} = 2 \tilde x - \frac{34}{13}$$
Esta ecuación es una parábola
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = \frac{0 \cdot 12}{13} + \frac{0 \cdot 5}{13}$$
$$y_{0} = \frac{0 \cdot 5}{13} + \frac{0 \cdot 12}{13}$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{12}{13}, \ \frac{5}{13}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{5}{13}, \ \frac{12}{13}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$25 x^{2} - 120 x y - 242 x + 144 y^{2} - 298 y + 491 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 25$$
$$a_{12} = -60$$
$$a_{13} = -121$$
$$a_{22} = 144$$
$$a_{23} = -149$$
$$a_{33} = 491$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 169$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}25 & -60 & -121\\-60 & 144 & -149\\-121 & -149 & 491\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}25 - \lambda & -60\\-60 & 144 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 169$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = -4826809$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 169 \lambda$$
$$K_{2} = 46137$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
$$I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0$$
o
$$338 \tilde x + 169 \tilde y^{2} = 0$$
$$\tilde y^{2} = 2 \tilde x$$
- está reducida a la forma canónica
$$25 x^{2} - 120 x y - 242 x + 144 y^{2} - 298 y + 491 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 25$$
$$a_{12} = -60$$
$$a_{13} = -121$$
$$a_{22} = 144$$
$$a_{23} = -149$$
$$a_{33} = 491$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 169$$
|25 -60|
I2 = | |
|-60 144|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}25 & -60 & -121\\-60 & 144 & -149\\-121 & -149 & 491\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}25 - \lambda & -60\\-60 & 144 - \lambda\end{matrix}\right|$$
| 25 -121| |144 -149|
K2 = | | + | |
|-121 491 | |-149 491 |$$I_{1} = 169$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = -4826809$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 169 \lambda$$
$$K_{2} = 46137$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
$$I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0$$
o
$$338 \tilde x + 169 \tilde y^{2} = 0$$
$$\tilde y^{2} = 2 \tilde x$$
- está reducida a la forma canónica