Sr Examen
x^2-2xysqrt3-y^2+4xsqrt3-6x-6ysqrt3-4y+8=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 ___ ___ ___ 8 + x - y - 6*x - 4*y - 6*y*\/ 3 + 4*x*\/ 3 - 2*x*y*\/ 3 = 0
$$x^{2} - 2 \sqrt{3} x y - 6 x + 4 \sqrt{3} x - y^{2} - 6 \sqrt{3} y - 4 y + 8 = 0$$
x^2 - 2*sqrt(3)*x*y - 6*x + 4*sqrt(3)*x - y^2 - 6*sqrt(3)*y - 4*y + 8 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$x^{2} - 2 \sqrt{3} x y - 6 x + 4 \sqrt{3} x - y^{2} - 6 \sqrt{3} y - 4 y + 8 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = - \sqrt{3}$$
$$a_{13} = -3 + 2 \sqrt{3}$$
$$a_{22} = -1$$
$$a_{23} = - 3 \sqrt{3} - 2$$
$$a_{33} = 8$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}1 & - \sqrt{3}\\- \sqrt{3} & -1\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -4$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$x_{0} - \sqrt{3} y_{0} - 3 + 2 \sqrt{3} = 0$$
$$- \sqrt{3} x_{0} - y_{0} - 3 \sqrt{3} - 2 = 0$$
entonces
$$x_{0} = - \sqrt{3} - \frac{3}{2}$$
$$y_{0} = 1 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = x_{0} \left(-3 + 2 \sqrt{3}\right) + y_{0} \left(- 3 \sqrt{3} - 2\right) + 8$$
$$a'_{33} = \left(-3 + 2 \sqrt{3}\right) \left(- \sqrt{3} - \frac{3}{2}\right) + 8 + \left(1 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \left(- 3 \sqrt{3} - 2\right)$$
entonces la ecuación se transformará en
$$x'^{2} - 2 \sqrt{3} x' y' - y'^{2} + \left(-3 + 2 \sqrt{3}\right) \left(- \sqrt{3} - \frac{3}{2}\right) + 8 + \left(1 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \left(- 3 \sqrt{3} - 2\right) = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
entonces
$$\phi = - \frac{\pi}{6}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{1}{2}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = - \frac{1}{2}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} + \frac{\tilde y}{2}$$
$$y' = - \frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$x'^{2} - 2 \sqrt{3} x' y' - y'^{2} + \left(-3 + 2 \sqrt{3}\right) \left(- \sqrt{3} - \frac{3}{2}\right) + 8 + \left(1 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \left(- 3 \sqrt{3} - 2\right) = 0$$
en
$$- \left(- \frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right)^{2} - 2 \sqrt{3} \left(- \frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} + \frac{\tilde y}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} + \frac{\tilde y}{2}\right)^{2} + \left(-3 + 2 \sqrt{3}\right) \left(- \sqrt{3} - \frac{3}{2}\right) + 8 + \left(1 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \left(- 3 \sqrt{3} - 2\right) = 0$$
simplificamos
$$2 \tilde x^{2} - 2 \tilde y^{2} + 18 = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$\frac{\tilde x^{2}}{9} - \frac{\tilde y^{2}}{9} = -1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \ - \frac{1}{2}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( \frac{1}{2}, \ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
$$x^{2} - 2 \sqrt{3} x y - 6 x + 4 \sqrt{3} x - y^{2} - 6 \sqrt{3} y - 4 y + 8 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = - \sqrt{3}$$
$$a_{13} = -3 + 2 \sqrt{3}$$
$$a_{22} = -1$$
$$a_{23} = - 3 \sqrt{3} - 2$$
$$a_{33} = 8$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}1 & - \sqrt{3}\\- \sqrt{3} & -1\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -4$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$x_{0} - \sqrt{3} y_{0} - 3 + 2 \sqrt{3} = 0$$
$$- \sqrt{3} x_{0} - y_{0} - 3 \sqrt{3} - 2 = 0$$
entonces
$$x_{0} = - \sqrt{3} - \frac{3}{2}$$
$$y_{0} = 1 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = x_{0} \left(-3 + 2 \sqrt{3}\right) + y_{0} \left(- 3 \sqrt{3} - 2\right) + 8$$
$$a'_{33} = \left(-3 + 2 \sqrt{3}\right) \left(- \sqrt{3} - \frac{3}{2}\right) + 8 + \left(1 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \left(- 3 \sqrt{3} - 2\right)$$
entonces la ecuación se transformará en
$$x'^{2} - 2 \sqrt{3} x' y' - y'^{2} + \left(-3 + 2 \sqrt{3}\right) \left(- \sqrt{3} - \frac{3}{2}\right) + 8 + \left(1 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \left(- 3 \sqrt{3} - 2\right) = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
entonces
$$\phi = - \frac{\pi}{6}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{1}{2}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = - \frac{1}{2}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} + \frac{\tilde y}{2}$$
$$y' = - \frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$x'^{2} - 2 \sqrt{3} x' y' - y'^{2} + \left(-3 + 2 \sqrt{3}\right) \left(- \sqrt{3} - \frac{3}{2}\right) + 8 + \left(1 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \left(- 3 \sqrt{3} - 2\right) = 0$$
en
$$- \left(- \frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right)^{2} - 2 \sqrt{3} \left(- \frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} + \frac{\tilde y}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} + \frac{\tilde y}{2}\right)^{2} + \left(-3 + 2 \sqrt{3}\right) \left(- \sqrt{3} - \frac{3}{2}\right) + 8 + \left(1 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \left(- 3 \sqrt{3} - 2\right) = 0$$
simplificamos
$$2 \tilde x^{2} - 2 \tilde y^{2} + 18 = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$\frac{\tilde x^{2}}{9} - \frac{\tilde y^{2}}{9} = -1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
___ 3 ___ 3*\/ 3 (- - - \/ 3, 1 - -------) 2 2
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \ - \frac{1}{2}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( \frac{1}{2}, \ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$x^{2} - 2 \sqrt{3} x y - 6 x + 4 \sqrt{3} x - y^{2} - 6 \sqrt{3} y - 4 y + 8 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = - \sqrt{3}$$
$$a_{13} = -3 + 2 \sqrt{3}$$
$$a_{22} = -1$$
$$a_{23} = - 3 \sqrt{3} - 2$$
$$a_{33} = 8$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 0$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & - \sqrt{3} & -3 + 2 \sqrt{3}\\- \sqrt{3} & -1 & - 3 \sqrt{3} - 2\\-3 + 2 \sqrt{3} & - 3 \sqrt{3} - 2 & 8\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & - \sqrt{3}\\- \sqrt{3} & - \lambda - 1\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 0$$
$$I_{2} = -4$$
$$I_{3} = -72$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 4$$
$$K_{2} = -52$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 4 = 0$$
$$\lambda_{1} = -2$$
$$\lambda_{2} = 2$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$- 2 \tilde x^{2} + 2 \tilde y^{2} + 18 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{9} - \frac{\tilde y^{2}}{9} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
$$x^{2} - 2 \sqrt{3} x y - 6 x + 4 \sqrt{3} x - y^{2} - 6 \sqrt{3} y - 4 y + 8 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = - \sqrt{3}$$
$$a_{13} = -3 + 2 \sqrt{3}$$
$$a_{22} = -1$$
$$a_{23} = - 3 \sqrt{3} - 2$$
$$a_{33} = 8$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 0$$
| ___|
| 1 -\/ 3 |
I2 = | |
| ___ |
|-\/ 3 -1 |$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & - \sqrt{3} & -3 + 2 \sqrt{3}\\- \sqrt{3} & -1 & - 3 \sqrt{3} - 2\\-3 + 2 \sqrt{3} & - 3 \sqrt{3} - 2 & 8\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & - \sqrt{3}\\- \sqrt{3} & - \lambda - 1\end{matrix}\right|$$
| ___| | ___|
| 1 -3 + 2*\/ 3 | | -1 -2 - 3*\/ 3 |
K2 = | | + | |
| ___ | | ___ |
|-3 + 2*\/ 3 8 | |-2 - 3*\/ 3 8 |$$I_{1} = 0$$
$$I_{2} = -4$$
$$I_{3} = -72$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 4$$
$$K_{2} = -52$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 4 = 0$$
$$\lambda_{1} = -2$$
$$\lambda_{2} = 2$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$- 2 \tilde x^{2} + 2 \tilde y^{2} + 18 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{9} - \frac{\tilde y^{2}}{9} = 1$$
- está reducida a la forma canónica