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Forma canónica/ x^2-2xysqrt3-y^2+4xsqrt3-6x-6ysqrt3-4y+8=0

x^2-2xysqrt3-y^2+4xsqrt3-6x-6ysqrt3-4y+8=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
     2    2                     ___         ___           ___    
8 + x  - y  - 6*x - 4*y - 6*y*\/ 3  + 4*x*\/ 3  - 2*x*y*\/ 3  = 0
x2−23xy−6x+43x−y2−63y−4y+8=0x^{2} - 2 \sqrt{3} x y - 6 x + 4 \sqrt{3} x - y^{2} - 6 \sqrt{3} y - 4 y + 8 = 0 
x^2 - 2*sqrt(3)*x*y - 6*x + 4*sqrt(3)*x - y^2 - 6*sqrt(3)*y - 4*y + 8 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
x2−23xy−6x+43x−y2−63y−4y+8=0x^{2} - 2 \sqrt{3} x y - 6 x + 4 \sqrt{3} x - y^{2} - 6 \sqrt{3} y - 4 y + 8 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=1a_{11} = 1
a12=−3a_{12} = - \sqrt{3}
a13=−3+23a_{13} = -3 + 2 \sqrt{3}
a22=−1a_{22} = -1
a23=−33−2a_{23} = - 3 \sqrt{3} - 2
a33=8a_{33} = 8
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣1−3−3−1∣\Delta = \left|\begin{matrix}1 & - \sqrt{3}\\- \sqrt{3} & -1\end{matrix}\right|
Δ=−4\Delta = -4
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
x0−3y0−3+23=0x_{0} - \sqrt{3} y_{0} - 3 + 2 \sqrt{3} = 0
−3x0−y0−33−2=0- \sqrt{3} x_{0} - y_{0} - 3 \sqrt{3} - 2 = 0
entonces
x0=−3−32x_{0} = - \sqrt{3} - \frac{3}{2}
y0=1−332y_{0} = 1 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=x0(−3+23)+y0(−33−2)+8a'_{33} = x_{0} \left(-3 + 2 \sqrt{3}\right) + y_{0} \left(- 3 \sqrt{3} - 2\right) + 8
a33′=(−3+23)(−3−32)+8+(1−332)(−33−2)a'_{33} = \left(-3 + 2 \sqrt{3}\right) \left(- \sqrt{3} - \frac{3}{2}\right) + 8 + \left(1 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \left(- 3 \sqrt{3} - 2\right)
entonces la ecuación se transformará en
x′2−23x′y′−y′2+(−3+23)(−3−32)+8+(1−332)(−33−2)=0x'^{2} - 2 \sqrt{3} x' y' - y'^{2} + \left(-3 + 2 \sqrt{3}\right) \left(- \sqrt{3} - \frac{3}{2}\right) + 8 + \left(1 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \left(- 3 \sqrt{3} - 2\right) = 0
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=−33\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{3}
entonces
ϕ=−π6\phi = - \frac{\pi}{6}
sin⁡(2ϕ)=−32\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡(2ϕ)=12\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{1}{2}
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=32\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}
sin⁡(ϕ)=−12\sin{\left(\phi \right)} = - \frac{1}{2}
sustituimos coeficientes
x′=3x~2+y~2x' = \frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} + \frac{\tilde y}{2}
y′=−x~2+3y~2y' = - \frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}
entonces la ecuación se transformará de
x′2−23x′y′−y′2+(−3+23)(−3−32)+8+(1−332)(−33−2)=0x'^{2} - 2 \sqrt{3} x' y' - y'^{2} + \left(-3 + 2 \sqrt{3}\right) \left(- \sqrt{3} - \frac{3}{2}\right) + 8 + \left(1 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \left(- 3 \sqrt{3} - 2\right) = 0
en
−(−x~2+3y~2)2−23(−x~2+3y~2)(3x~2+y~2)+(3x~2+y~2)2+(−3+23)(−3−32)+8+(1−332)(−33−2)=0- \left(- \frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right)^{2} - 2 \sqrt{3} \left(- \frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} + \frac{\tilde y}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} + \frac{\tilde y}{2}\right)^{2} + \left(-3 + 2 \sqrt{3}\right) \left(- \sqrt{3} - \frac{3}{2}\right) + 8 + \left(1 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \left(- 3 \sqrt{3} - 2\right) = 0
simplificamos
2x~2−2y~2+18=02 \tilde x^{2} - 2 \tilde y^{2} + 18 = 0
Esta ecuación es una hipérbola
x~29−y~29=−1\frac{\tilde x^{2}}{9} - \frac{\tilde y^{2}}{9} = -1
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
                      ___ 
   3     ___      3*\/ 3  
(- - - \/ 3, 1 - -------)
   2                 2

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(32, −12)\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \ - \frac{1}{2}\right)
e⃗2=(12, 32)\vec e_2 = \left( \frac{1}{2}, \ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
x2−23xy−6x+43x−y2−63y−4y+8=0x^{2} - 2 \sqrt{3} x y - 6 x + 4 \sqrt{3} x - y^{2} - 6 \sqrt{3} y - 4 y + 8 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=1a_{11} = 1
a12=−3a_{12} = - \sqrt{3}
a13=−3+23a_{13} = -3 + 2 \sqrt{3}
a22=−1a_{22} = -1
a23=−33−2a_{23} = - 3 \sqrt{3} - 2
a33=8a_{33} = 8
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=0I_{1} = 0
     |           ___|
     |  1     -\/ 3 |
I2 = |              |
     |   ___        |
     |-\/ 3     -1  |

I3=∣1−3−3+23−3−1−33−2−3+23−33−28∣I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & - \sqrt{3} & -3 + 2 \sqrt{3}\\- \sqrt{3} & -1 & - 3 \sqrt{3} - 2\\-3 + 2 \sqrt{3} & - 3 \sqrt{3} - 2 & 8\end{matrix}\right|
I(λ)=∣1−λ−3−3−λ−1∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & - \sqrt{3}\\- \sqrt{3} & - \lambda - 1\end{matrix}\right|
     |                       ___|   |                       ___|
     |     1        -3 + 2*\/ 3 |   |     -1       -2 - 3*\/ 3 |
K2 = |                          | + |                          |
     |         ___              |   |         ___              |
     |-3 + 2*\/ 3        8      |   |-2 - 3*\/ 3        8      |

I1=0I_{1} = 0
I2=−4I_{2} = -4
I3=−72I_{3} = -72
I(λ)=λ2−4I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 4
K2=−52K_{2} = -52
Como
I2<0∧I3≠0I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2−4=0\lambda^{2} - 4 = 0
λ1=−2\lambda_{1} = -2
λ2=2\lambda_{2} = 2
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
−2x~2+2y~2+18=0- 2 \tilde x^{2} + 2 \tilde y^{2} + 18 = 0
x~29−y~29=1\frac{\tilde x^{2}}{9} - \frac{\tilde y^{2}}{9} = 1
- está reducida a la forma canónica
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