Sr Examen
2x^2-4xy+2y^2+x-5y+2=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
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2 2 2 + x - 5*y + 2*x + 2*y - 4*x*y = 0
$$2 x^{2} - 4 x y + x + 2 y^{2} - 5 y + 2 = 0$$
2*x^2 - 4*x*y + x + 2*y^2 - 5*y + 2 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$2 x^{2} - 4 x y + x + 2 y^{2} - 5 y + 2 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 2$$
$$a_{12} = -2$$
$$a_{13} = \frac{1}{2}$$
$$a_{22} = 2$$
$$a_{23} = - \frac{5}{2}$$
$$a_{33} = 2$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}2 & -2\\-2 & 2\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = 0$$
entonces
$$\phi = \frac{\pi}{4}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = 1$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = 0$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}$$
$$y' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$2 x'^{2} - 4 x' y' + x' + 2 y'^{2} - 5 y' + 2 = 0$$
en
$$2 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right)^{2} - 4 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) + 2 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right)^{2} - 5 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) + 2 = 0$$
simplificamos
$$- 2 \sqrt{2} \tilde x + 4 \tilde y^{2} - 3 \sqrt{2} \tilde y + 2 = 0$$
$$2 \sqrt{2} \tilde x - 4 \tilde y^{2} + 3 \sqrt{2} \tilde y - 2 = 0$$
$$\left(2 \tilde y + \frac{3 \sqrt{2}}{4}\right)^{2} = 2 \sqrt{2} \tilde x - \frac{7}{8}$$
$$\left(\tilde y + \frac{3 \sqrt{2}}{8}\right)^{2} = \frac{\sqrt{2} \left(\tilde x - \frac{7 \sqrt{2}}{32}\right)}{2}$$
$$\tilde y'^{2} = \frac{\sqrt{2} \tilde x'}{2}$$
Esta ecuación es una parábola
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = 0 \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$y_{0} = 0 \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
$$2 x^{2} - 4 x y + x + 2 y^{2} - 5 y + 2 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 2$$
$$a_{12} = -2$$
$$a_{13} = \frac{1}{2}$$
$$a_{22} = 2$$
$$a_{23} = - \frac{5}{2}$$
$$a_{33} = 2$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}2 & -2\\-2 & 2\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = 0$$
entonces
$$\phi = \frac{\pi}{4}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = 1$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = 0$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}$$
$$y' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$2 x'^{2} - 4 x' y' + x' + 2 y'^{2} - 5 y' + 2 = 0$$
en
$$2 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right)^{2} - 4 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) + 2 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right)^{2} - 5 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) + 2 = 0$$
simplificamos
$$- 2 \sqrt{2} \tilde x + 4 \tilde y^{2} - 3 \sqrt{2} \tilde y + 2 = 0$$
$$2 \sqrt{2} \tilde x - 4 \tilde y^{2} + 3 \sqrt{2} \tilde y - 2 = 0$$
$$\left(2 \tilde y + \frac{3 \sqrt{2}}{4}\right)^{2} = 2 \sqrt{2} \tilde x - \frac{7}{8}$$
$$\left(\tilde y + \frac{3 \sqrt{2}}{8}\right)^{2} = \frac{\sqrt{2} \left(\tilde x - \frac{7 \sqrt{2}}{32}\right)}{2}$$
$$\tilde y'^{2} = \frac{\sqrt{2} \tilde x'}{2}$$
Esta ecuación es una parábola
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = 0 \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$y_{0} = 0 \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$2 x^{2} - 4 x y + x + 2 y^{2} - 5 y + 2 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 2$$
$$a_{12} = -2$$
$$a_{13} = \frac{1}{2}$$
$$a_{22} = 2$$
$$a_{23} = - \frac{5}{2}$$
$$a_{33} = 2$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 4$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}2 & -2 & \frac{1}{2}\\-2 & 2 & - \frac{5}{2}\\\frac{1}{2} & - \frac{5}{2} & 2\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}2 - \lambda & -2\\-2 & 2 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 4$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = -8$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 4 \lambda$$
$$K_{2} = \frac{3}{2}$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
$$I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0$$
o
$$2 \sqrt{2} \tilde x + 4 \tilde y^{2} = 0$$
$$\tilde y^{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \tilde x$$
- está reducida a la forma canónica
$$2 x^{2} - 4 x y + x + 2 y^{2} - 5 y + 2 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 2$$
$$a_{12} = -2$$
$$a_{13} = \frac{1}{2}$$
$$a_{22} = 2$$
$$a_{23} = - \frac{5}{2}$$
$$a_{33} = 2$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 4$$
|2 -2|
I2 = | |
|-2 2 |$$I_{3} = \left|\begin{matrix}2 & -2 & \frac{1}{2}\\-2 & 2 & - \frac{5}{2}\\\frac{1}{2} & - \frac{5}{2} & 2\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}2 - \lambda & -2\\-2 & 2 - \lambda\end{matrix}\right|$$
| 2 1/2| | 2 -5/2|
K2 = | | + | |
|1/2 2 | |-5/2 2 |$$I_{1} = 4$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = -8$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 4 \lambda$$
$$K_{2} = \frac{3}{2}$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
$$I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0$$
o
$$2 \sqrt{2} \tilde x + 4 \tilde y^{2} = 0$$
$$\tilde y^{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \tilde x$$
- está reducida a la forma canónica