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Forma canónica/ 2x^2-4xy+2y^2+x-5y+2=0

2x^2-4xy+2y^2+x-5y+2=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
                 2      2            
2 + x - 5*y + 2*x  + 2*y  - 4*x*y = 0
2x2−4xy+x+2y2−5y+2=02 x^{2} - 4 x y + x + 2 y^{2} - 5 y + 2 = 0 
2*x^2 - 4*x*y + x + 2*y^2 - 5*y + 2 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
2x2−4xy+x+2y2−5y+2=02 x^{2} - 4 x y + x + 2 y^{2} - 5 y + 2 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=2a_{11} = 2
a12=−2a_{12} = -2
a13=12a_{13} = \frac{1}{2}
a22=2a_{22} = 2
a23=−52a_{23} = - \frac{5}{2}
a33=2a_{33} = 2
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣2−2−22∣\Delta = \left|\begin{matrix}2 & -2\\-2 & 2\end{matrix}\right|
Δ=0\Delta = 0
Como
Δ\Delta
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=0\cot{\left(2 \phi \right)} = 0
entonces
ϕ=π4\phi = \frac{\pi}{4}
sin⁡(2ϕ)=1\sin{\left(2 \phi \right)} = 1
cos⁡(2ϕ)=0\cos{\left(2 \phi \right)} = 0
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=22\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}
sin⁡(ϕ)=22\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}
sustituimos coeficientes
x′=2x~2−2y~2x' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}
y′=2x~2+2y~2y' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}
entonces la ecuación se transformará de
2x′2−4x′y′+x′+2y′2−5y′+2=02 x'^{2} - 4 x' y' + x' + 2 y'^{2} - 5 y' + 2 = 0
en
2(2x~2−2y~2)2−4(2x~2−2y~2)(2x~2+2y~2)+(2x~2−2y~2)+2(2x~2+2y~2)2−5(2x~2+2y~2)+2=02 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right)^{2} - 4 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) + 2 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right)^{2} - 5 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) + 2 = 0
simplificamos
−22x~+4y~2−32y~+2=0- 2 \sqrt{2} \tilde x + 4 \tilde y^{2} - 3 \sqrt{2} \tilde y + 2 = 0
22x~−4y~2+32y~−2=02 \sqrt{2} \tilde x - 4 \tilde y^{2} + 3 \sqrt{2} \tilde y - 2 = 0
(2y~+324)2=22x~−78\left(2 \tilde y + \frac{3 \sqrt{2}}{4}\right)^{2} = 2 \sqrt{2} \tilde x - \frac{7}{8}
(y~+328)2=2(x~−7232)2\left(\tilde y + \frac{3 \sqrt{2}}{8}\right)^{2} = \frac{\sqrt{2} \left(\tilde x - \frac{7 \sqrt{2}}{32}\right)}{2}
y~′2=2x~′2\tilde y'^{2} = \frac{\sqrt{2} \tilde x'}{2}
Esta ecuación es una parábola
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
x0=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y0=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
x0=022+022x_{0} = 0 \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 \frac{\sqrt{2}}{2}
y0=022+022y_{0} = 0 \frac{\sqrt{2}}{2} + 0 \frac{\sqrt{2}}{2}
x0=0x_{0} = 0
y0=0y_{0} = 0
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(22, 22)\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
e⃗2=(−22, 22)\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
2x2−4xy+x+2y2−5y+2=02 x^{2} - 4 x y + x + 2 y^{2} - 5 y + 2 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=2a_{11} = 2
a12=−2a_{12} = -2
a13=12a_{13} = \frac{1}{2}
a22=2a_{22} = 2
a23=−52a_{23} = - \frac{5}{2}
a33=2a_{33} = 2
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=4I_{1} = 4
     |2   -2|
I2 = |      |
     |-2  2 |

I3=∣2−212−22−5212−522∣I_{3} = \left|\begin{matrix}2 & -2 & \frac{1}{2}\\-2 & 2 & - \frac{5}{2}\\\frac{1}{2} & - \frac{5}{2} & 2\end{matrix}\right|
I(λ)=∣2−λ−2−22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}2 - \lambda & -2\\-2 & 2 - \lambda\end{matrix}\right|
     | 2   1/2|   | 2    -5/2|
K2 = |        | + |          |
     |1/2   2 |   |-5/2   2  |

I1=4I_{1} = 4
I2=0I_{2} = 0
I3=−8I_{3} = -8
I(λ)=λ2−4λI{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 4 \lambda
K2=32K_{2} = \frac{3}{2}
Como
I2=0∧I3≠0I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
I1y~2+2x~−I3I1=0I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0
o
22x~+4y~2=02 \sqrt{2} \tilde x + 4 \tilde y^{2} = 0
y~2=22x~\tilde y^{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \tilde x
- está reducida a la forma canónica
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