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Forma canónica/ 16x^2+24xy+9y^2+4x+3y=0

16x^2+24xy+9y^2+4x+3y=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
               2       2             
3*y + 4*x + 9*y  + 16*x  + 24*x*y = 0
16x2+24xy+4x+9y2+3y=016 x^{2} + 24 x y + 4 x + 9 y^{2} + 3 y = 0 
16*x^2 + 24*x*y + 4*x + 9*y^2 + 3*y = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
16x2+24xy+4x+9y2+3y=016 x^{2} + 24 x y + 4 x + 9 y^{2} + 3 y = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=16a_{11} = 16
a12=12a_{12} = 12
a13=2a_{13} = 2
a22=9a_{22} = 9
a23=32a_{23} = \frac{3}{2}
a33=0a_{33} = 0
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣1612129∣\Delta = \left|\begin{matrix}16 & 12\\12 & 9\end{matrix}\right|
Δ=0\Delta = 0
Como
Δ\Delta
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=724\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{7}{24}
entonces
ϕ=acot⁡(724)2\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{7}{24} \right)}}{2}
sin⁡(2ϕ)=2425\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{24}{25}
cos⁡(2ϕ)=725\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{7}{25}
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=45\cos{\left(\phi \right)} = \frac{4}{5}
sin⁡(ϕ)=35\sin{\left(\phi \right)} = \frac{3}{5}
sustituimos coeficientes
x′=4x~5−3y~5x' = \frac{4 \tilde x}{5} - \frac{3 \tilde y}{5}
y′=3x~5+4y~5y' = \frac{3 \tilde x}{5} + \frac{4 \tilde y}{5}
entonces la ecuación se transformará de
16x′2+24x′y′+4x′+9y′2+3y′=016 x'^{2} + 24 x' y' + 4 x' + 9 y'^{2} + 3 y' = 0
en
9(3x~5+4y~5)2+24(3x~5+4y~5)(4x~5−3y~5)+3(3x~5+4y~5)+16(4x~5−3y~5)2+4(4x~5−3y~5)=09 \left(\frac{3 \tilde x}{5} + \frac{4 \tilde y}{5}\right)^{2} + 24 \left(\frac{3 \tilde x}{5} + \frac{4 \tilde y}{5}\right) \left(\frac{4 \tilde x}{5} - \frac{3 \tilde y}{5}\right) + 3 \left(\frac{3 \tilde x}{5} + \frac{4 \tilde y}{5}\right) + 16 \left(\frac{4 \tilde x}{5} - \frac{3 \tilde y}{5}\right)^{2} + 4 \left(\frac{4 \tilde x}{5} - \frac{3 \tilde y}{5}\right) = 0
simplificamos
25x~2+5x~=025 \tilde x^{2} + 5 \tilde x = 0
5x~2+x~=05 \tilde x^{2} + \tilde x = 0
(5x~+510)2=120\left(\sqrt{5} \tilde x + \frac{\sqrt{5}}{10}\right)^{2} = \frac{1}{20}
(x~+110)2=1100\left(\tilde x + \frac{1}{10}\right)^{2} = \frac{1}{100}
x~′2=1100\tilde x'^{2} = \frac{1}{100}
Esta ecuación es dos rectas paralelas
- está reducida a la forma canónica
donde se ha hecho la sustitución
x~′=x~+110\tilde x' = \tilde x + \frac{1}{10}
y~′=y~\tilde y' = \tilde y
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
x0=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y0=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
x0=(−1)45⋅10+0⋅35x_{0} = \frac{\left(-1\right) 4}{5 \cdot 10} + \frac{0 \cdot 3}{5}
y0=(−1)35⋅10+0⋅45y_{0} = \frac{\left(-1\right) 3}{5 \cdot 10} + \frac{0 \cdot 4}{5}
x0=−225x_{0} = - \frac{2}{25}
y0=−350y_{0} = - \frac{3}{50}
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(-2/25, -3/50)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(45, 35)\vec e_1 = \left( \frac{4}{5}, \ \frac{3}{5}\right)
e⃗2=(−35, 45)\vec e_2 = \left( - \frac{3}{5}, \ \frac{4}{5}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
16x2+24xy+4x+9y2+3y=016 x^{2} + 24 x y + 4 x + 9 y^{2} + 3 y = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=16a_{11} = 16
a12=12a_{12} = 12
a13=2a_{13} = 2
a22=9a_{22} = 9
a23=32a_{23} = \frac{3}{2}
a33=0a_{33} = 0
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=25I_{1} = 25
     |16  12|
I2 = |      |
     |12  9 |

I3=∣16122129322320∣I_{3} = \left|\begin{matrix}16 & 12 & 2\\12 & 9 & \frac{3}{2}\\2 & \frac{3}{2} & 0\end{matrix}\right|
I(λ)=∣16−λ12129−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}16 - \lambda & 12\\12 & 9 - \lambda\end{matrix}\right|
     |16  2|   | 9   3/2|
K2 = |     | + |        |
     |2   0|   |3/2   0 |

I1=25I_{1} = 25
I2=0I_{2} = 0
I3=0I_{3} = 0
I(λ)=λ2−25λI{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 25 \lambda
K2=−254K_{2} = - \frac{25}{4}
Como
I2=0∧I3=0∧K2<0∧I1≠0I_{2} = 0 \wedge I_{3} = 0 \wedge K_{2} < 0 \wedge I_{1} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : dos rectos paralelos
I1y~2+K2I1=0I_{1} \tilde y^{2} + \frac{K_{2}}{I_{1}} = 0
o
25y~2−14=025 \tilde y^{2} - \frac{1}{4} = 0
None

- está reducida a la forma canónica
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