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Forma canónica/ 4x^2-4y^2+12x-24y+9=0

4x^2-4y^2+12x-24y+9=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
              2      2           
9 - 24*y - 4*y  + 4*x  + 12*x = 0
4x2+12x−4y2−24y+9=04 x^{2} + 12 x - 4 y^{2} - 24 y + 9 = 0 
4*x^2 + 12*x - 4*y^2 - 24*y + 9 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
4x2+12x−4y2−24y+9=04 x^{2} + 12 x - 4 y^{2} - 24 y + 9 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=4a_{11} = 4
a12=0a_{12} = 0
a13=6a_{13} = 6
a22=−4a_{22} = -4
a23=−12a_{23} = -12
a33=9a_{33} = 9
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣400−4∣\Delta = \left|\begin{matrix}4 & 0\\0 & -4\end{matrix}\right|
Δ=−16\Delta = -16
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
4x0+6=04 x_{0} + 6 = 0
−4y0−12=0- 4 y_{0} - 12 = 0
entonces
x0=−32x_{0} = - \frac{3}{2}
y0=−3y_{0} = -3
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=6x0−12y0+9a'_{33} = 6 x_{0} - 12 y_{0} + 9
a33′=36a'_{33} = 36
entonces la ecuación se transformará en
4x′2−4y′2+36=04 x'^{2} - 4 y'^{2} + 36 = 0
Esta ecuación es una hipérbola
x~29−y~29=−1\frac{\tilde x^{2}}{9} - \frac{\tilde y^{2}}{9} = -1
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(-3/2, -3)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(1, 0)\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)
e⃗2=(0, 1)\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
4x2+12x−4y2−24y+9=04 x^{2} + 12 x - 4 y^{2} - 24 y + 9 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=4a_{11} = 4
a12=0a_{12} = 0
a13=6a_{13} = 6
a22=−4a_{22} = -4
a23=−12a_{23} = -12
a33=9a_{33} = 9
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=0I_{1} = 0
     |4  0 |
I2 = |     |
     |0  -4|

I3=∣4060−4−126−129∣I_{3} = \left|\begin{matrix}4 & 0 & 6\\0 & -4 & -12\\6 & -12 & 9\end{matrix}\right|
I(λ)=∣4−λ00−λ−4∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}4 - \lambda & 0\\0 & - \lambda - 4\end{matrix}\right|
     |4  6|   |-4   -12|
K2 = |    | + |        |
     |6  9|   |-12   9 |

I1=0I_{1} = 0
I2=−16I_{2} = -16
I3=−576I_{3} = -576
I(λ)=λ2−16I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 16
K2=−180K_{2} = -180
Como
I2<0∧I3≠0I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2−16=0\lambda^{2} - 16 = 0
λ1=−4\lambda_{1} = -4
λ2=4\lambda_{2} = 4
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
−4x~2+4y~2+36=0- 4 \tilde x^{2} + 4 \tilde y^{2} + 36 = 0
x~29−y~29=1\frac{\tilde x^{2}}{9} - \frac{\tilde y^{2}}{9} = 1
- está reducida a la forma canónica
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