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Forma canónica/ 28*(x^2)+16*((3)^(1/2))*x*y+216*((3)^(1/2))*x-12*x+12*(y^2)+12*((3)^(1/2))*y+216*y+1332=20

28*(x^2)+16*((3)^(1/2))*x*y+216*((3)^(1/2))*x-12*x+12*(y^2)+12*((3)^(1/2))*y+216*y+1332=20 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
                  2       2                  ___           ___            ___    
1312 - 12*x + 12*y  + 28*x  + 216*y + 12*y*\/ 3  + 216*x*\/ 3  + 16*x*y*\/ 3  = 0
28x2+163xy−12x+2163x+12y2+123y+216y+1312=028 x^{2} + 16 \sqrt{3} x y - 12 x + 216 \sqrt{3} x + 12 y^{2} + 12 \sqrt{3} y + 216 y + 1312 = 0 
28*x^2 + 16*sqrt(3)*x*y - 12*x + 216*sqrt(3)*x + 12*y^2 + 12*sqrt(3)*y + 216*y + 1312 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
28x2+163xy−12x+2163x+12y2+123y+216y+1312=028 x^{2} + 16 \sqrt{3} x y - 12 x + 216 \sqrt{3} x + 12 y^{2} + 12 \sqrt{3} y + 216 y + 1312 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=28a_{11} = 28
a12=83a_{12} = 8 \sqrt{3}
a13=−6+1083a_{13} = -6 + 108 \sqrt{3}
a22=12a_{22} = 12
a23=63+108a_{23} = 6 \sqrt{3} + 108
a33=1312a_{33} = 1312
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣28838312∣\Delta = \left|\begin{matrix}28 & 8 \sqrt{3}\\8 \sqrt{3} & 12\end{matrix}\right|
Δ=144\Delta = 144
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
28x0+83y0−6+1083=028 x_{0} + 8 \sqrt{3} y_{0} - 6 + 108 \sqrt{3} = 0
83x0+12y0+63+108=08 \sqrt{3} x_{0} + 12 y_{0} + 6 \sqrt{3} + 108 = 0
entonces
x0=32−33x_{0} = \frac{3}{2} - 3 \sqrt{3}
y0=−3−332y_{0} = -3 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=x0(−6+1083)+y0(63+108)+1312a'_{33} = x_{0} \left(-6 + 108 \sqrt{3}\right) + y_{0} \left(6 \sqrt{3} + 108\right) + 1312
a33′=(−6+1083)(32−33)+(−3−332)(63+108)+1312a'_{33} = \left(-6 + 108 \sqrt{3}\right) \left(\frac{3}{2} - 3 \sqrt{3}\right) + \left(-3 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \left(6 \sqrt{3} + 108\right) + 1312
entonces la ecuación se transformará en
28x′2+163x′y′+12y′2+(−6+1083)(32−33)+(−3−332)(63+108)+1312=028 x'^{2} + 16 \sqrt{3} x' y' + 12 y'^{2} + \left(-6 + 108 \sqrt{3}\right) \left(\frac{3}{2} - 3 \sqrt{3}\right) + \left(-3 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \left(6 \sqrt{3} + 108\right) + 1312 = 0
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=33\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{3}
entonces
ϕ=π6\phi = \frac{\pi}{6}
sin⁡(2ϕ)=32\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡(2ϕ)=12\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{1}{2}
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=32\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}
sin⁡(ϕ)=12\sin{\left(\phi \right)} = \frac{1}{2}
sustituimos coeficientes
x′=3x~2−y~2x' = \frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}
y′=x~2+3y~2y' = \frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}
entonces la ecuación se transformará de
28x′2+163x′y′+12y′2+(−6+1083)(32−33)+(−3−332)(63+108)+1312=028 x'^{2} + 16 \sqrt{3} x' y' + 12 y'^{2} + \left(-6 + 108 \sqrt{3}\right) \left(\frac{3}{2} - 3 \sqrt{3}\right) + \left(-3 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \left(6 \sqrt{3} + 108\right) + 1312 = 0
en
12(x~2+3y~2)2+163(x~2+3y~2)(3x~2−y~2)+28(3x~2−y~2)2+(−6+1083)(32−33)+(−3−332)(63+108)+1312=012 \left(\frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right)^{2} + 16 \sqrt{3} \left(\frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}\right) + 28 \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}\right)^{2} + \left(-6 + 108 \sqrt{3}\right) \left(\frac{3}{2} - 3 \sqrt{3}\right) + \left(-3 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \left(6 \sqrt{3} + 108\right) + 1312 = 0
simplificamos
36x~2+4y~2−20=036 \tilde x^{2} + 4 \tilde y^{2} - 20 = 0
Esta ecuación es una elipsis
x~2(16510)2+y~2(12510)2=1\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{6 \frac{\sqrt{5}}{10}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{2 \frac{\sqrt{5}}{10}}\right)^{2}} = 1
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
                       ___ 
 3       ___       3*\/ 3  
(- - 3*\/ 3, -3 - -------)
 2                    2

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(32, 12)\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \ \frac{1}{2}\right)
e⃗2=(−12, 32)\vec e_2 = \left( - \frac{1}{2}, \ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
28x2+163xy−12x+2163x+12y2+123y+216y+1312=028 x^{2} + 16 \sqrt{3} x y - 12 x + 216 \sqrt{3} x + 12 y^{2} + 12 \sqrt{3} y + 216 y + 1312 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=28a_{11} = 28
a12=83a_{12} = 8 \sqrt{3}
a13=−6+1083a_{13} = -6 + 108 \sqrt{3}
a22=12a_{22} = 12
a23=63+108a_{23} = 6 \sqrt{3} + 108
a33=1312a_{33} = 1312
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=40I_{1} = 40
     |             ___|
     |  28     8*\/ 3 |
I2 = |                |
     |    ___         |
     |8*\/ 3     12   |

I3=∣2883−6+1083831263+108−6+108363+1081312∣I_{3} = \left|\begin{matrix}28 & 8 \sqrt{3} & -6 + 108 \sqrt{3}\\8 \sqrt{3} & 12 & 6 \sqrt{3} + 108\\-6 + 108 \sqrt{3} & 6 \sqrt{3} + 108 & 1312\end{matrix}\right|
I(λ)=∣28−λ838312−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}28 - \lambda & 8 \sqrt{3}\\8 \sqrt{3} & 12 - \lambda\end{matrix}\right|
     |                           ___|   |                         ___|
     |      28        -6 + 108*\/ 3 |   |     12        108 + 6*\/ 3 |
K2 = |                              | + |                            |
     |           ___                |   |          ___               |
     |-6 + 108*\/ 3        1312     |   |108 + 6*\/ 3       1312     |

I1=40I_{1} = 40
I2=144I_{2} = 144
I3=−2880I_{3} = -2880
I(λ)=λ2−40λ+144I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 40 \lambda + 144
K2=5680K_{2} = 5680
Como
I2>0∧I1I3<0I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2−40λ+144=0\lambda^{2} - 40 \lambda + 144 = 0
λ1=36\lambda_{1} = 36
λ2=4\lambda_{2} = 4
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
36x~2+4y~2−20=036 \tilde x^{2} + 4 \tilde y^{2} - 20 = 0
x~2(16510)2+y~2(12510)2=1\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{6 \frac{\sqrt{5}}{10}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{2 \frac{\sqrt{5}}{10}}\right)^{2}} = 1
- está reducida a la forma canónica
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