28*(x^2)+16*((3)^(1/2))*x*y+216*((3)^(1/2))*x-12*x+12*(y^2)+12*((3)^(1/2))*y+216*y+1332=20 forma canónica

Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$28 x^{2} + 16 \sqrt{3} x y - 12 x + 216 \sqrt{3} x + 12 y^{2} + 12 \sqrt{3} y + 216 y + 1312 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 28$$
$$a_{12} = 8 \sqrt{3}$$
$$a_{13} = -6 + 108 \sqrt{3}$$
$$a_{22} = 12$$
$$a_{23} = 6 \sqrt{3} + 108$$
$$a_{33} = 1312$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}28 & 8 \sqrt{3}\\8 \sqrt{3} & 12\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 144$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$28 x_{0} + 8 \sqrt{3} y_{0} - 6 + 108 \sqrt{3} = 0$$
$$8 \sqrt{3} x_{0} + 12 y_{0} + 6 \sqrt{3} + 108 = 0$$
entonces
$$x_{0} = \frac{3}{2} - 3 \sqrt{3}$$
$$y_{0} = -3 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = x_{0} \left(-6 + 108 \sqrt{3}\right) + y_{0} \left(6 \sqrt{3} + 108\right) + 1312$$
$$a'_{33} = \left(-6 + 108 \sqrt{3}\right) \left(\frac{3}{2} - 3 \sqrt{3}\right) + \left(-3 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \left(6 \sqrt{3} + 108\right) + 1312$$
entonces la ecuación se transformará en
$$28 x'^{2} + 16 \sqrt{3} x' y' + 12 y'^{2} + \left(-6 + 108 \sqrt{3}\right) \left(\frac{3}{2} - 3 \sqrt{3}\right) + \left(-3 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \left(6 \sqrt{3} + 108\right) + 1312 = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
entonces
$$\phi = \frac{\pi}{6}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{1}{2}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{1}{2}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}$$
$$y' = \frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$28 x'^{2} + 16 \sqrt{3} x' y' + 12 y'^{2} + \left(-6 + 108 \sqrt{3}\right) \left(\frac{3}{2} - 3 \sqrt{3}\right) + \left(-3 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \left(6 \sqrt{3} + 108\right) + 1312 = 0$$
en
$$12 \left(\frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right)^{2} + 16 \sqrt{3} \left(\frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}\right) + 28 \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}\right)^{2} + \left(-6 + 108 \sqrt{3}\right) \left(\frac{3}{2} - 3 \sqrt{3}\right) + \left(-3 - \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \left(6 \sqrt{3} + 108\right) + 1312 = 0$$
simplificamos
$$36 \tilde x^{2} + 4 \tilde y^{2} - 20 = 0$$
Esta ecuación es una elipsis
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{6 \frac{\sqrt{5}}{10}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{2 \frac{\sqrt{5}}{10}}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O

                       ___ 
 3       ___       3*\/ 3  
(- - 3*\/ 3, -3 - -------)
 2                    2    

Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \ \frac{1}{2}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{1}{2}, \ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$