Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$3 x^{2} - 12 x + y^{2} - 2 y + 4 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 3$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -6$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = -1$$
$$a_{33} = 4$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 4$$
|3 0|
I2 = | |
|0 1|
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}3 & 0 & -6\\0 & 1 & -1\\-6 & -1 & 4\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}3 - \lambda & 0\\0 & 1 - \lambda\end{matrix}\right|$$
|3 -6| |1 -1|
K2 = | | + | |
|-6 4 | |-1 4 |
$$I_{1} = 4$$
$$I_{2} = 3$$
$$I_{3} = -27$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 4 \lambda + 3$$
$$K_{2} = -21$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 4 \lambda + 3 = 0$$
$$\lambda_{1} = 3$$
$$\lambda_{2} = 1$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$3 \tilde x^{2} + \tilde y^{2} - 9 = 0$$
2 2
\tilde x \tilde y
---------- + --------- = 1
2 2
// ___\\ / 1\
||\/ 3 || \3 /
||-----||
|\ 3 /|
|-------|
\ 1/3 /
- está reducida a la forma canónica