Se da la ecuación de la línea de 2-o orden: xy+2x+y=0 Esta ecuación tiene la forma: a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0 donde a11=0 a12=21 a13=1 a22=0 a23=21 a33=0 Calculemos el determinante Δ=a11a12a12a22 o, sustituimos Δ=021210 Δ=−41 Como Δ no es igual a 0, entonces hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones a11x0+a12y0+a13=0 a12x0+a22y0+a23=0 sustituimos coeficientes 2y0+1=0 2x0+21=0 entonces x0=−1 y0=−2 Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y' a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0 donde a33′=a13x0+a23y0+a33 o a33′=x0+2y0 a33′=−2 entonces la ecuación se transformará en x′y′−2=0 Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ x′=x~cos(ϕ)−y~sin(ϕ) y′=x~sin(ϕ)+y~cos(ϕ) φ - se define de la fórmula cot(2ϕ)=2a12a11−a22 sustituimos coeficientes cot(2ϕ)=0 entonces ϕ=4π sin(2ϕ)=1 cos(2ϕ)=0 cos(ϕ)=2cos(2ϕ)+21 sin(ϕ)=1−cos2(ϕ) cos(ϕ)=22 sin(ϕ)=22 sustituimos coeficientes x′=22x~−22y~ y′=22x~+22y~ entonces la ecuación se transformará de x′y′−2=0 en (22x~−22y~)(22x~+22y~)−2=0 simplificamos 2x~2−2y~2−2=0 −2x~2+2y~2+2=0 Esta ecuación es una hipérbola 4x~2−4y~2=1 - está reducida a la forma canónica Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(-1, -2)
Base de las coordenadas canónicas e1=(22,22) e2=(−22,22)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden: xy+2x+y=0 Esta ecuación tiene la forma: a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0 donde a11=0 a12=21 a13=1 a22=0 a23=21 a33=0 Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes: I1=a11+a22
I1=0 I2=−41 I3=21 I(λ)=λ2−41 K2=−45 Como I2<0∧I3=0 entonces por razón de tipos de rectas: esta ecuación tiene el tipo : hipérbola Formulamos la ecuación característica para nuestra línea: −I1λ+I2+λ2=0 o λ2−41=0 λ1=−21 λ2=21 entonces la forma canónica de la ecuación será x~2λ1+y~2λ2+I2I3=0 o −2x~2+2y~2−2=0 4x~2−4y~2=−1 - está reducida a la forma canónica