Se da la ecuación de la línea de 2-o orden: 3x2−18x+3y2−18y+51=0 Esta ecuación tiene la forma: a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0 donde a11=3 a12=0 a13=−9 a22=3 a23=−9 a33=51 Calculemos el determinante Δ=a11a12a12a22 o, sustituimos Δ=3003 Δ=9 Como Δ no es igual a 0, entonces hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones a11x0+a12y0+a13=0 a12x0+a22y0+a23=0 sustituimos coeficientes 3x0−9=0 3y0−9=0 entonces x0=3 y0=3 Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y' a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0 donde a33′=a13x0+a23y0+a33 o a33′=−9x0−9y0+51 a33′=−3 entonces la ecuación se transformará en 3x′2+3y′2−3=0 Esta ecuación es una circunferencia (313313)2x~2+(313313)2y~2=1 - está reducida a la forma canónica Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(3, 3)
Base de las coordenadas canónicas e1=(1,0) e2=(0,1)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden: 3x2−18x+3y2−18y+51=0 Esta ecuación tiene la forma: a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0 donde a11=3 a12=0 a13=−9 a22=3 a23=−9 a33=51 Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes: I1=a11+a22
I1=6 I2=9 I3=−27 I(λ)=λ2−6λ+9 K2=144 Como I2>0∧I1I3<0 entonces por razón de tipos de rectas: esta ecuación tiene el tipo : circunferencia Formulamos la ecuación característica para nuestra línea: −I1λ+I2+λ2=0 o λ2−6λ+9=0 λ1=3 λ2=3 entonces la forma canónica de la ecuación será x~2λ1+y~2λ2+I2I3=0 o 3x~2+3y~2−3=0 (313313)2x~2+(313313)2y~2=1 - está reducida a la forma canónica