Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Forma canónica:
- 3x^2+3y^2-18x-18y+51=0
- 2x^2+2y^2-8sqrt(2)y
- y^2+8*z^2=64
- 2x^2+2xy+8y^2=0
- Límite de la función:
- 64
- Suma de la serie:
-
64
-
Expresiones idénticas
- y^ dos + ocho *z^ dos = sesenta y cuatro
- y al cuadrado más 8 multiplicar por z al cuadrado es igual a 64
- y en el grado dos más ocho multiplicar por z en el grado dos es igual a sesenta y cuatro
- y2+8*z2=64
- y²+8*z²=64
- y en el grado 2+8*z en el grado 2=64
- y^2+8z^2=64
- y2+8z2=64
-
Expresiones semejantes
- y^2-8*z^2=64
y^2+8*z^2=64 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Método de invariantes
Se da la ecuación de superficie de 2 grado:
$$y^{2} + 8 z^{2} - 64 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{14} = 0$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{24} = 0$$
$$a_{33} = 8$$
$$a_{34} = 0$$
$$a_{44} = -64$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 9$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 8\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 8 & 0\\0 & 0 & 0 & -64\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda & 0 & 0\\0 & 1 - \lambda & 0\\0 & 0 & 8 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 9$$
$$I_{2} = 8$$
$$I_{3} = 0$$
$$I_{4} = 0$$
$$I{\left(\lambda \right)} = - \lambda^{3} + 9 \lambda^{2} - 8 \lambda$$
$$K_{2} = -576$$
$$K_{3} = -512$$
Como
$$I_{3} = 0 \wedge I_{4} = 0 \wedge I_{2} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
hay que
Formulamos la ecuación característica para nuestra superficie:
$$- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda - I_{3} + \lambda^{3} = 0$$
o
$$\lambda^{3} - 9 \lambda^{2} + 8 \lambda = 0$$
$$\lambda_{1} = 8$$
$$\lambda_{2} = 1$$
$$\lambda_{3} = 0$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\left(\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2}\right) + \frac{K_{3}}{I_{2}} = 0$$
$$8 \tilde x^{2} + \tilde y^{2} - 64 = 0$$
es la ecuación para el tipo cilindro elíptico
- está reducida a la forma canónica
$$y^{2} + 8 z^{2} - 64 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{14} = 0$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{24} = 0$$
$$a_{33} = 8$$
$$a_{34} = 0$$
$$a_{44} = -64$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
|a11 a12| |a22 a23| |a11 a13|
I2 = | | + | | + | |
|a12 a22| |a23 a33| |a13 a33|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a14| |a22 a24| |a33 a34|
K2 = | | + | | + | |
|a14 a44| |a24 a44| |a34 a44| |a11 a12 a14| |a22 a23 a24| |a11 a13 a14|
| | | | | |
K3 = |a12 a22 a24| + |a23 a33 a34| + |a13 a33 a34|
| | | | | |
|a14 a24 a44| |a24 a34 a44| |a14 a34 a44|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 9$$
|0 0| |1 0| |0 0|
I2 = | | + | | + | |
|0 1| |0 8| |0 8|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 8\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 8 & 0\\0 & 0 & 0 & -64\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda & 0 & 0\\0 & 1 - \lambda & 0\\0 & 0 & 8 - \lambda\end{matrix}\right|$$
|0 0 | |1 0 | |8 0 |
K2 = | | + | | + | |
|0 -64| |0 -64| |0 -64| |0 0 0 | |1 0 0 | |0 0 0 |
| | | | | |
K3 = |0 1 0 | + |0 8 0 | + |0 8 0 |
| | | | | |
|0 0 -64| |0 0 -64| |0 0 -64|$$I_{1} = 9$$
$$I_{2} = 8$$
$$I_{3} = 0$$
$$I_{4} = 0$$
$$I{\left(\lambda \right)} = - \lambda^{3} + 9 \lambda^{2} - 8 \lambda$$
$$K_{2} = -576$$
$$K_{3} = -512$$
Como
$$I_{3} = 0 \wedge I_{4} = 0 \wedge I_{2} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
hay que
Formulamos la ecuación característica para nuestra superficie:
$$- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda - I_{3} + \lambda^{3} = 0$$
o
$$\lambda^{3} - 9 \lambda^{2} + 8 \lambda = 0$$
$$\lambda_{1} = 8$$
$$\lambda_{2} = 1$$
$$\lambda_{3} = 0$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\left(\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2}\right) + \frac{K_{3}}{I_{2}} = 0$$
$$8 \tilde x^{2} + \tilde y^{2} - 64 = 0$$
2 2
\tilde x \tilde y
---------- + --------- = 1
2 2
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\ 1/8 / es la ecuación para el tipo cilindro elíptico
- está reducida a la forma canónica