Sr Examen

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2x^2+2xy+8y^2=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src]
   2      2            
2*x  + 8*y  + 2*x*y = 0
2x2+2xy+8y2=02 x^{2} + 2 x y + 8 y^{2} = 0
2*x^2 + 2*x*y + 8*y^2 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
2x2+2xy+8y2=02 x^{2} + 2 x y + 8 y^{2} = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=2a_{11} = 2
a12=1a_{12} = 1
a13=0a_{13} = 0
a22=8a_{22} = 8
a23=0a_{23} = 0
a33=0a_{33} = 0
Calculemos el determinante
Δ=a11a12a12a22\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=2118\Delta = \left|\begin{matrix}2 & 1\\1 & 8\end{matrix}\right|
Δ=15\Delta = 15
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
2x0+y0=02 x_{0} + y_{0} = 0
x0+8y0=0x_{0} + 8 y_{0} = 0
entonces
x0=0x_{0} = 0
y0=0y_{0} = 0
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33+a11x2+2a12xy+a22y2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33=0a'_{33} = 0
a33=0a'_{33} = 0
entonces la ecuación se transformará en
2x2+2xy+8y2=02 x'^{2} + 2 x' y' + 8 y'^{2} = 0
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x=x~cos(ϕ)y~sin(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y=x~sin(ϕ)+y~cos(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot(2ϕ)=a11a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot(2ϕ)=3\cot{\left(2 \phi \right)} = -3
entonces
ϕ=acot(3)2\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(3 \right)}}{2}
sin(2ϕ)=1010\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{\sqrt{10}}{10}
cos(2ϕ)=31010\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{3 \sqrt{10}}{10}
cos(ϕ)=cos(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin(ϕ)=1cos2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos(ϕ)=31020+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}
sin(ϕ)=1231020\sin{\left(\phi \right)} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}}
sustituimos coeficientes
x=x~31020+12+y~1231020x' = \tilde x \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}}
y=x~1231020+y~31020+12y' = - \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} + \tilde y \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}
entonces la ecuación se transformará de
2x2+2xy+8y2=02 x'^{2} + 2 x' y' + 8 y'^{2} = 0
en
8(x~1231020+y~31020+12)2+2(x~1231020+y~31020+12)(x~31020+12+y~1231020)+2(x~31020+12+y~1231020)2=08 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} + \tilde y \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}\right)^{2} + 2 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} + \tilde y \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde x \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}}\right) + 2 \left(\tilde x \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}}\right)^{2} = 0
simplificamos
910x~2102x~2123102031020+12+5x~212x~y~123102031020+12+310x~y~5+2y~2123102031020+12+910y~210+5y~2=0- \frac{9 \sqrt{10} \tilde x^{2}}{10} - 2 \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}} + 5 \tilde x^{2} - 12 \tilde x \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}} + \frac{3 \sqrt{10} \tilde x \tilde y}{5} + 2 \tilde y^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}} \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}} + \frac{9 \sqrt{10} \tilde y^{2}}{10} + 5 \tilde y^{2} = 0
10x~2+5x~2+10y~2+5y~2=0- \sqrt{10} \tilde x^{2} + 5 \tilde x^{2} + \sqrt{10} \tilde y^{2} + 5 \tilde y^{2} = 0
Esta ecuación es una elipsis degenerada
x~2(1510)2+y~2(110+5)2=0\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{5 - \sqrt{10}}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{\sqrt{10} + 5}}\right)^{2}} = 0
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)

Base de las coordenadas canónicas
e1=(31020+12, 1231020)\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}, \ - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}}\right)
e2=(1231020, 31020+12)\vec e_2 = \left( \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{10}}{20}}, \ \sqrt{\frac{3 \sqrt{10}}{20} + \frac{1}{2}}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
2x2+2xy+8y2=02 x^{2} + 2 x y + 8 y^{2} = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=2a_{11} = 2
a12=1a_{12} = 1
a13=0a_{13} = 0
a22=8a_{22} = 8
a23=0a_{23} = 0
a33=0a_{33} = 0
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=a11a12a13a12a22a23a13a23a33I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=a11λa12a12a22λI{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=10I_{1} = 10
     |2  1|
I2 = |    |
     |1  8|

I3=210180000I_{3} = \left|\begin{matrix}2 & 1 & 0\\1 & 8 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right|
I(λ)=2λ118λI{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}2 - \lambda & 1\\1 & 8 - \lambda\end{matrix}\right|
     |2  0|   |8  0|
K2 = |    | + |    |
     |0  0|   |0  0|

I1=10I_{1} = 10
I2=15I_{2} = 15
I3=0I_{3} = 0
I(λ)=λ210λ+15I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 10 \lambda + 15
K2=0K_{2} = 0
Como
I3=0I2>0I_{3} = 0 \wedge I_{2} > 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis degenerada
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ210λ+15=0\lambda^{2} - 10 \lambda + 15 = 0
λ1=510\lambda_{1} = 5 - \sqrt{10}
λ2=10+5\lambda_{2} = \sqrt{10} + 5
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
x~2(510)+y~2(10+5)=0\tilde x^{2} \left(5 - \sqrt{10}\right) + \tilde y^{2} \left(\sqrt{10} + 5\right) = 0
x~2(1510)2+y~2(110+5)2=0\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{5 - \sqrt{10}}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{\sqrt{10} + 5}}\right)^{2}} = 0
- está reducida a la forma canónica