Se da la ecuación de la línea de 2-o orden: 2x2+2xy+8y2=0 Esta ecuación tiene la forma: a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0 donde a11=2 a12=1 a13=0 a22=8 a23=0 a33=0 Calculemos el determinante Δ=a11a12a12a22 o, sustituimos Δ=2118 Δ=15 Como Δ no es igual a 0, entonces hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones a11x0+a12y0+a13=0 a12x0+a22y0+a23=0 sustituimos coeficientes 2x0+y0=0 x0+8y0=0 entonces x0=0 y0=0 Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y' a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0 donde a33′=a13x0+a23y0+a33 o a33′=0 a33′=0 entonces la ecuación se transformará en 2x′2+2x′y′+8y′2=0 Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ x′=x~cos(ϕ)−y~sin(ϕ) y′=x~sin(ϕ)+y~cos(ϕ) φ - se define de la fórmula cot(2ϕ)=2a12a11−a22 sustituimos coeficientes cot(2ϕ)=−3 entonces ϕ=−2acot(3) sin(2ϕ)=−1010 cos(2ϕ)=10310 cos(ϕ)=2cos(2ϕ)+21 sin(ϕ)=1−cos2(ϕ) cos(ϕ)=20310+21 sin(ϕ)=−21−20310 sustituimos coeficientes x′=x~20310+21+y~21−20310 y′=−x~21−20310+y~20310+21 entonces la ecuación se transformará de 2x′2+2x′y′+8y′2=0 en 8−x~21−20310+y~20310+212+2−x~21−20310+y~20310+21x~20310+21+y~21−20310+2x~20310+21+y~21−203102=0 simplificamos −10910x~2−2x~221−2031020310+21+5x~2−12x~y~21−2031020310+21+5310x~y~+2y~221−2031020310+21+10910y~2+5y~2=0 −10x~2+5x~2+10y~2+5y~2=0 Esta ecuación es una elipsis degenerada (5−101)2x~2+(10+51)2y~2=0 - está reducida a la forma canónica Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)
Base de las coordenadas canónicas e1=20310+21,−21−20310 e2=21−20310,20310+21
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden: 2x2+2xy+8y2=0 Esta ecuación tiene la forma: a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0 donde a11=2 a12=1 a13=0 a22=8 a23=0 a33=0 Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes: I1=a11+a22
I1=10 I2=15 I3=0 I(λ)=λ2−10λ+15 K2=0 Como I3=0∧I2>0 entonces por razón de tipos de rectas: esta ecuación tiene el tipo : elipsis degenerada Formulamos la ecuación característica para nuestra línea: −I1λ+I2+λ2=0 o λ2−10λ+15=0 λ1=5−10 λ2=10+5 entonces la forma canónica de la ecuación será x~2λ1+y~2λ2+I2I3=0 o x~2(5−10)+y~2(10+5)=0 (5−101)2x~2+(10+51)2y~2=0 - está reducida a la forma canónica