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Forma canónica/ 4x^2+25y^2-16x+50y-67=0

4x^2+25y^2-16x+50y-67=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
                2       2           
-67 - 16*x + 4*x  + 25*y  + 50*y = 0
4x2−16x+25y2+50y−67=04 x^{2} - 16 x + 25 y^{2} + 50 y - 67 = 0 
4*x^2 - 16*x + 25*y^2 + 50*y - 67 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
4x2−16x+25y2+50y−67=04 x^{2} - 16 x + 25 y^{2} + 50 y - 67 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=4a_{11} = 4
a12=0a_{12} = 0
a13=−8a_{13} = -8
a22=25a_{22} = 25
a23=25a_{23} = 25
a33=−67a_{33} = -67
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣40025∣\Delta = \left|\begin{matrix}4 & 0\\0 & 25\end{matrix}\right|
Δ=100\Delta = 100
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
4x0−8=04 x_{0} - 8 = 0
25y0+25=025 y_{0} + 25 = 0
entonces
x0=2x_{0} = 2
y0=−1y_{0} = -1
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=−8x0+25y0−67a'_{33} = - 8 x_{0} + 25 y_{0} - 67
a33′=−108a'_{33} = -108
entonces la ecuación se transformará en
4x′2+25y′2−108=04 x'^{2} + 25 y'^{2} - 108 = 0
Esta ecuación es una elipsis
x~2(12318)2+y~2(15318)2=1\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{2 \frac{\sqrt{3}}{18}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{5 \frac{\sqrt{3}}{18}}\right)^{2}} = 1
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(2, -1)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(1, 0)\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)
e⃗2=(0, 1)\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
4x2−16x+25y2+50y−67=04 x^{2} - 16 x + 25 y^{2} + 50 y - 67 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=4a_{11} = 4
a12=0a_{12} = 0
a13=−8a_{13} = -8
a22=25a_{22} = 25
a23=25a_{23} = 25
a33=−67a_{33} = -67
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=29I_{1} = 29
     |4  0 |
I2 = |     |
     |0  25|

I3=∣40−802525−825−67∣I_{3} = \left|\begin{matrix}4 & 0 & -8\\0 & 25 & 25\\-8 & 25 & -67\end{matrix}\right|
I(λ)=∣4−λ0025−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}4 - \lambda & 0\\0 & 25 - \lambda\end{matrix}\right|
     |4   -8 |   |25  25 |
K2 = |       | + |       |
     |-8  -67|   |25  -67|

I1=29I_{1} = 29
I2=100I_{2} = 100
I3=−10800I_{3} = -10800
I(λ)=λ2−29λ+100I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 29 \lambda + 100
K2=−2632K_{2} = -2632
Como
I2>0∧I1I3<0I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2−29λ+100=0\lambda^{2} - 29 \lambda + 100 = 0
λ1=25\lambda_{1} = 25
λ2=4\lambda_{2} = 4
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
25x~2+4y~2−108=025 \tilde x^{2} + 4 \tilde y^{2} - 108 = 0
x~2(15318)2+y~2(12318)2=1\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{5 \frac{\sqrt{3}}{18}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{2 \frac{\sqrt{3}}{18}}\right)^{2}} = 1
- está reducida a la forma canónica
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