Sr Examen
4x^2+25y^2-16x+50y-67=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
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2 2 -67 - 16*x + 4*x + 25*y + 50*y = 0
$$4 x^{2} - 16 x + 25 y^{2} + 50 y - 67 = 0$$
4*x^2 - 16*x + 25*y^2 + 50*y - 67 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$4 x^{2} - 16 x + 25 y^{2} + 50 y - 67 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -8$$
$$a_{22} = 25$$
$$a_{23} = 25$$
$$a_{33} = -67$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}4 & 0\\0 & 25\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 100$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$4 x_{0} - 8 = 0$$
$$25 y_{0} + 25 = 0$$
entonces
$$x_{0} = 2$$
$$y_{0} = -1$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - 8 x_{0} + 25 y_{0} - 67$$
$$a'_{33} = -108$$
entonces la ecuación se transformará en
$$4 x'^{2} + 25 y'^{2} - 108 = 0$$
Esta ecuación es una elipsis
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{2 \frac{\sqrt{3}}{18}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{5 \frac{\sqrt{3}}{18}}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$
$$4 x^{2} - 16 x + 25 y^{2} + 50 y - 67 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -8$$
$$a_{22} = 25$$
$$a_{23} = 25$$
$$a_{33} = -67$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}4 & 0\\0 & 25\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 100$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$4 x_{0} - 8 = 0$$
$$25 y_{0} + 25 = 0$$
entonces
$$x_{0} = 2$$
$$y_{0} = -1$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - 8 x_{0} + 25 y_{0} - 67$$
$$a'_{33} = -108$$
entonces la ecuación se transformará en
$$4 x'^{2} + 25 y'^{2} - 108 = 0$$
Esta ecuación es una elipsis
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{2 \frac{\sqrt{3}}{18}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{5 \frac{\sqrt{3}}{18}}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(2, -1)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$4 x^{2} - 16 x + 25 y^{2} + 50 y - 67 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -8$$
$$a_{22} = 25$$
$$a_{23} = 25$$
$$a_{33} = -67$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 29$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}4 & 0 & -8\\0 & 25 & 25\\-8 & 25 & -67\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}4 - \lambda & 0\\0 & 25 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 29$$
$$I_{2} = 100$$
$$I_{3} = -10800$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 29 \lambda + 100$$
$$K_{2} = -2632$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 29 \lambda + 100 = 0$$
$$\lambda_{1} = 25$$
$$\lambda_{2} = 4$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$25 \tilde x^{2} + 4 \tilde y^{2} - 108 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{5 \frac{\sqrt{3}}{18}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{2 \frac{\sqrt{3}}{18}}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
$$4 x^{2} - 16 x + 25 y^{2} + 50 y - 67 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -8$$
$$a_{22} = 25$$
$$a_{23} = 25$$
$$a_{33} = -67$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 29$$
|4 0 |
I2 = | |
|0 25|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}4 & 0 & -8\\0 & 25 & 25\\-8 & 25 & -67\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}4 - \lambda & 0\\0 & 25 - \lambda\end{matrix}\right|$$
|4 -8 | |25 25 |
K2 = | | + | |
|-8 -67| |25 -67|$$I_{1} = 29$$
$$I_{2} = 100$$
$$I_{3} = -10800$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 29 \lambda + 100$$
$$K_{2} = -2632$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 29 \lambda + 100 = 0$$
$$\lambda_{1} = 25$$
$$\lambda_{2} = 4$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$25 \tilde x^{2} + 4 \tilde y^{2} - 108 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{5 \frac{\sqrt{3}}{18}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{2 \frac{\sqrt{3}}{18}}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica