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Forma canónica/ -4x^2+y^2+8x+4y=100/3

-4x^2+y^2+8x+4y=100/3 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
  100    2      2                
- --- + y  - 4*x  + 4*y + 8*x = 0
   3
−4x2+8x+y2+4y−1003=0- 4 x^{2} + 8 x + y^{2} + 4 y - \frac{100}{3} = 0 
-4*x^2 + 8*x + y^2 + 4*y - 100/3 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
−4x2+8x+y2+4y−1003=0- 4 x^{2} + 8 x + y^{2} + 4 y - \frac{100}{3} = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=−4a_{11} = -4
a12=0a_{12} = 0
a13=4a_{13} = 4
a22=1a_{22} = 1
a23=2a_{23} = 2
a33=−1003a_{33} = - \frac{100}{3}
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣−4001∣\Delta = \left|\begin{matrix}-4 & 0\\0 & 1\end{matrix}\right|
Δ=−4\Delta = -4
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
4−4x0=04 - 4 x_{0} = 0
y0+2=0y_{0} + 2 = 0
entonces
x0=1x_{0} = 1
y0=−2y_{0} = -2
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=4x0+2y0−1003a'_{33} = 4 x_{0} + 2 y_{0} - \frac{100}{3}
a33′=−1003a'_{33} = - \frac{100}{3}
entonces la ecuación se transformará en
−4x′2+y′2−1003=0- 4 x'^{2} + y'^{2} - \frac{100}{3} = 0
Esta ecuación es una hipérbola
x~2253−y~21003=−1\frac{\tilde x^{2}}{\frac{25}{3}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{100}{3}} = -1
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(1, -2)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(1, 0)\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)
e⃗2=(0, 1)\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
−4x2+8x+y2+4y−1003=0- 4 x^{2} + 8 x + y^{2} + 4 y - \frac{100}{3} = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=−4a_{11} = -4
a12=0a_{12} = 0
a13=4a_{13} = 4
a22=1a_{22} = 1
a23=2a_{23} = 2
a33=−1003a_{33} = - \frac{100}{3}
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=−3I_{1} = -3
     |-4  0|
I2 = |     |
     |0   1|

I3=∣−40401242−1003∣I_{3} = \left|\begin{matrix}-4 & 0 & 4\\0 & 1 & 2\\4 & 2 & - \frac{100}{3}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣−λ−4001−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda - 4 & 0\\0 & 1 - \lambda\end{matrix}\right|
     |-4    4   |   |1    2   |
K2 = |          | + |         |
     |4   -100/3|   |2  -100/3|

I1=−3I_{1} = -3
I2=−4I_{2} = -4
I3=4003I_{3} = \frac{400}{3}
I(λ)=λ2+3λ−4I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + 3 \lambda - 4
K2=80K_{2} = 80
Como
I2<0∧I3≠0I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2+3λ−4=0\lambda^{2} + 3 \lambda - 4 = 0
λ1=1\lambda_{1} = 1
λ2=−4\lambda_{2} = -4
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
x~2−4y~2−1003=0\tilde x^{2} - 4 \tilde y^{2} - \frac{100}{3} = 0
x~21003−y~2253=1\frac{\tilde x^{2}}{\frac{100}{3}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{25}{3}} = 1
- está reducida a la forma canónica
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