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Forma canónica/ 8*x^2-4*x*y+5*y^2-52*x+22*y+53=0

8*x^2-4*x*y+5*y^2-52*x+22*y+53=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
               2      2                   
53 - 52*x + 5*y  + 8*x  + 22*y - 4*x*y = 0
8x2−4xy−52x+5y2+22y+53=08 x^{2} - 4 x y - 52 x + 5 y^{2} + 22 y + 53 = 0 
8*x^2 - 4*x*y - 52*x + 5*y^2 + 22*y + 53 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
8x2−4xy−52x+5y2+22y+53=08 x^{2} - 4 x y - 52 x + 5 y^{2} + 22 y + 53 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=8a_{11} = 8
a12=−2a_{12} = -2
a13=−26a_{13} = -26
a22=5a_{22} = 5
a23=11a_{23} = 11
a33=53a_{33} = 53
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣8−2−25∣\Delta = \left|\begin{matrix}8 & -2\\-2 & 5\end{matrix}\right|
Δ=36\Delta = 36
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
8x0−2y0−26=08 x_{0} - 2 y_{0} - 26 = 0
−2x0+5y0+11=0- 2 x_{0} + 5 y_{0} + 11 = 0
entonces
x0=3x_{0} = 3
y0=−1y_{0} = -1
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=−26x0+11y0+53a'_{33} = - 26 x_{0} + 11 y_{0} + 53
a33′=−36a'_{33} = -36
entonces la ecuación se transformará en
8x′2−4x′y′+5y′2−36=08 x'^{2} - 4 x' y' + 5 y'^{2} - 36 = 0
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=−34\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{3}{4}
entonces
ϕ=−acot⁡(34)2\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{4} \right)}}{2}
sin⁡(2ϕ)=−45\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{4}{5}
cos⁡(2ϕ)=35\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{3}{5}
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=255\cos{\left(\phi \right)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}
sin⁡(ϕ)=−55\sin{\left(\phi \right)} = - \frac{\sqrt{5}}{5}
sustituimos coeficientes
x′=25x~5+5y~5x' = \frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}
y′=−5x~5+25y~5y' = - \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}
entonces la ecuación se transformará de
8x′2−4x′y′+5y′2−36=08 x'^{2} - 4 x' y' + 5 y'^{2} - 36 = 0
en
5(−5x~5+25y~5)2−4(−5x~5+25y~5)(25x~5+5y~5)+8(25x~5+5y~5)2−36=05 \left(- \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} - 4 \left(- \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right) \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right) + 8 \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} - 36 = 0
simplificamos
9x~2+4y~2−36=09 \tilde x^{2} + 4 \tilde y^{2} - 36 = 0
Esta ecuación es una elipsis
        2           2    
\tilde x    \tilde y     
--------- + --------- = 1
        2           2    
 /  1  \     /  1  \     
 |-----|     |-----|     
 \3*1/6/     \2*1/6/

- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(3, -1)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(255, −55)\vec e_1 = \left( \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \ - \frac{\sqrt{5}}{5}\right)
e⃗2=(55, 255)\vec e_2 = \left( \frac{\sqrt{5}}{5}, \ \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
8x2−4xy−52x+5y2+22y+53=08 x^{2} - 4 x y - 52 x + 5 y^{2} + 22 y + 53 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=8a_{11} = 8
a12=−2a_{12} = -2
a13=−26a_{13} = -26
a22=5a_{22} = 5
a23=11a_{23} = 11
a33=53a_{33} = 53
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=13I_{1} = 13
     |8   -2|
I2 = |      |
     |-2  5 |

I3=∣8−2−26−2511−261153∣I_{3} = \left|\begin{matrix}8 & -2 & -26\\-2 & 5 & 11\\-26 & 11 & 53\end{matrix}\right|
I(λ)=∣8−λ−2−25−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}8 - \lambda & -2\\-2 & 5 - \lambda\end{matrix}\right|
     | 8   -26|   |5   11|
K2 = |        | + |      |
     |-26  53 |   |11  53|

I1=13I_{1} = 13
I2=36I_{2} = 36
I3=−1296I_{3} = -1296
I(λ)=λ2−13λ+36I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 13 \lambda + 36
K2=−108K_{2} = -108
Como
I2>0∧I1I3<0I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2−13λ+36=0\lambda^{2} - 13 \lambda + 36 = 0
λ1=9\lambda_{1} = 9
λ2=4\lambda_{2} = 4
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
9x~2+4y~2−36=09 \tilde x^{2} + 4 \tilde y^{2} - 36 = 0
        2           2    
\tilde x    \tilde y     
--------- + --------- = 1
        2           2    
 /  1  \     /  1  \     
 |-----|     |-----|     
 \3*1/6/     \2*1/6/

- está reducida a la forma canónica
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