Sr Examen
8*x^2-4*x*y-5*y^2-52*x+22*y+53=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 53 - 52*x - 5*y + 8*x + 22*y - 4*x*y = 0
$$8 x^{2} - 4 x y - 52 x - 5 y^{2} + 22 y + 53 = 0$$
8*x^2 - 4*x*y - 52*x - 5*y^2 + 22*y + 53 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$8 x^{2} - 4 x y - 52 x - 5 y^{2} + 22 y + 53 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 8$$
$$a_{12} = -2$$
$$a_{13} = -26$$
$$a_{22} = -5$$
$$a_{23} = 11$$
$$a_{33} = 53$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}8 & -2\\-2 & -5\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -44$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$8 x_{0} - 2 y_{0} - 26 = 0$$
$$- 2 x_{0} - 5 y_{0} + 11 = 0$$
entonces
$$x_{0} = \frac{38}{11}$$
$$y_{0} = \frac{9}{11}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - 26 x_{0} + 11 y_{0} + 53$$
$$a'_{33} = - \frac{306}{11}$$
entonces la ecuación se transformará en
$$8 x'^{2} - 4 x' y' - 5 y'^{2} - \frac{306}{11} = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{13}{4}$$
entonces
$$\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{13}{4} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{4 \sqrt{185}}{185}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{13 \sqrt{185}}{185}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{13 \sqrt{185}}{370} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{13 \sqrt{185}}{370}}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \tilde x \sqrt{\frac{13 \sqrt{185}}{370} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{13 \sqrt{185}}{370}}$$
$$y' = - \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{13 \sqrt{185}}{370}} + \tilde y \sqrt{\frac{13 \sqrt{185}}{370} + \frac{1}{2}}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$8 x'^{2} - 4 x' y' - 5 y'^{2} - \frac{306}{11} = 0$$
en
$$- 5 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{13 \sqrt{185}}{370}} + \tilde y \sqrt{\frac{13 \sqrt{185}}{370} + \frac{1}{2}}\right)^{2} - 4 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{13 \sqrt{185}}{370}} + \tilde y \sqrt{\frac{13 \sqrt{185}}{370} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde x \sqrt{\frac{13 \sqrt{185}}{370} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{13 \sqrt{185}}{370}}\right) + 8 \left(\tilde x \sqrt{\frac{13 \sqrt{185}}{370} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{13 \sqrt{185}}{370}}\right)^{2} - \frac{306}{11} = 0$$
simplificamos
$$4 \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{13 \sqrt{185}}{370}} \sqrt{\frac{13 \sqrt{185}}{370} + \frac{1}{2}} + \frac{3 \tilde x^{2}}{2} + \frac{169 \sqrt{185} \tilde x^{2}}{370} - \frac{52 \sqrt{185} \tilde x \tilde y}{185} + 26 \tilde x \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{13 \sqrt{185}}{370}} \sqrt{\frac{13 \sqrt{185}}{370} + \frac{1}{2}} - \frac{169 \sqrt{185} \tilde y^{2}}{370} - 4 \tilde y^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{13 \sqrt{185}}{370}} \sqrt{\frac{13 \sqrt{185}}{370} + \frac{1}{2}} + \frac{3 \tilde y^{2}}{2} - \frac{306}{11} = 0$$
$$\frac{3 \tilde x^{2}}{2} + \frac{\sqrt{185} \tilde x^{2}}{2} - \frac{\sqrt{185} \tilde y^{2}}{2} + \frac{3 \tilde y^{2}}{2} - \frac{306}{11} = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$\frac{\tilde x^{2}}{\frac{306}{11} \frac{1}{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{185}}{2}}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{306}{11} \frac{1}{- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{185}}{2}}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{13 \sqrt{185}}{370} + \frac{1}{2}}, \ - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{13 \sqrt{185}}{370}}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{13 \sqrt{185}}{370}}, \ \sqrt{\frac{13 \sqrt{185}}{370} + \frac{1}{2}}\right)$$
$$8 x^{2} - 4 x y - 52 x - 5 y^{2} + 22 y + 53 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 8$$
$$a_{12} = -2$$
$$a_{13} = -26$$
$$a_{22} = -5$$
$$a_{23} = 11$$
$$a_{33} = 53$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}8 & -2\\-2 & -5\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -44$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$8 x_{0} - 2 y_{0} - 26 = 0$$
$$- 2 x_{0} - 5 y_{0} + 11 = 0$$
entonces
$$x_{0} = \frac{38}{11}$$
$$y_{0} = \frac{9}{11}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - 26 x_{0} + 11 y_{0} + 53$$
$$a'_{33} = - \frac{306}{11}$$
entonces la ecuación se transformará en
$$8 x'^{2} - 4 x' y' - 5 y'^{2} - \frac{306}{11} = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{13}{4}$$
entonces
$$\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{13}{4} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{4 \sqrt{185}}{185}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{13 \sqrt{185}}{185}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{13 \sqrt{185}}{370} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{13 \sqrt{185}}{370}}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \tilde x \sqrt{\frac{13 \sqrt{185}}{370} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{13 \sqrt{185}}{370}}$$
$$y' = - \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{13 \sqrt{185}}{370}} + \tilde y \sqrt{\frac{13 \sqrt{185}}{370} + \frac{1}{2}}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$8 x'^{2} - 4 x' y' - 5 y'^{2} - \frac{306}{11} = 0$$
en
$$- 5 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{13 \sqrt{185}}{370}} + \tilde y \sqrt{\frac{13 \sqrt{185}}{370} + \frac{1}{2}}\right)^{2} - 4 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{13 \sqrt{185}}{370}} + \tilde y \sqrt{\frac{13 \sqrt{185}}{370} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde x \sqrt{\frac{13 \sqrt{185}}{370} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{13 \sqrt{185}}{370}}\right) + 8 \left(\tilde x \sqrt{\frac{13 \sqrt{185}}{370} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{13 \sqrt{185}}{370}}\right)^{2} - \frac{306}{11} = 0$$
simplificamos
$$4 \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{13 \sqrt{185}}{370}} \sqrt{\frac{13 \sqrt{185}}{370} + \frac{1}{2}} + \frac{3 \tilde x^{2}}{2} + \frac{169 \sqrt{185} \tilde x^{2}}{370} - \frac{52 \sqrt{185} \tilde x \tilde y}{185} + 26 \tilde x \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{13 \sqrt{185}}{370}} \sqrt{\frac{13 \sqrt{185}}{370} + \frac{1}{2}} - \frac{169 \sqrt{185} \tilde y^{2}}{370} - 4 \tilde y^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{13 \sqrt{185}}{370}} \sqrt{\frac{13 \sqrt{185}}{370} + \frac{1}{2}} + \frac{3 \tilde y^{2}}{2} - \frac{306}{11} = 0$$
$$\frac{3 \tilde x^{2}}{2} + \frac{\sqrt{185} \tilde x^{2}}{2} - \frac{\sqrt{185} \tilde y^{2}}{2} + \frac{3 \tilde y^{2}}{2} - \frac{306}{11} = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$\frac{\tilde x^{2}}{\frac{306}{11} \frac{1}{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{185}}{2}}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{306}{11} \frac{1}{- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{185}}{2}}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
38 (--, 9/11) 11
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{13 \sqrt{185}}{370} + \frac{1}{2}}, \ - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{13 \sqrt{185}}{370}}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{13 \sqrt{185}}{370}}, \ \sqrt{\frac{13 \sqrt{185}}{370} + \frac{1}{2}}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$8 x^{2} - 4 x y - 52 x - 5 y^{2} + 22 y + 53 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 8$$
$$a_{12} = -2$$
$$a_{13} = -26$$
$$a_{22} = -5$$
$$a_{23} = 11$$
$$a_{33} = 53$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 3$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}8 & -2 & -26\\-2 & -5 & 11\\-26 & 11 & 53\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}8 - \lambda & -2\\-2 & - \lambda - 5\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 3$$
$$I_{2} = -44$$
$$I_{3} = 1224$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 3 \lambda - 44$$
$$K_{2} = -638$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 3 \lambda - 44 = 0$$
$$\lambda_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{185}}{2}$$
$$\lambda_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{185}}{2}$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$\tilde x^{2} \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{185}}{2}\right) + \tilde y^{2} \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{185}}{2}\right) - \frac{306}{11} = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\frac{306}{11} \frac{1}{- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{185}}{2}}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{306}{11} \frac{1}{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{185}}{2}}} = -1$$
- está reducida a la forma canónica
$$8 x^{2} - 4 x y - 52 x - 5 y^{2} + 22 y + 53 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 8$$
$$a_{12} = -2$$
$$a_{13} = -26$$
$$a_{22} = -5$$
$$a_{23} = 11$$
$$a_{33} = 53$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 3$$
|8 -2|
I2 = | |
|-2 -5|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}8 & -2 & -26\\-2 & -5 & 11\\-26 & 11 & 53\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}8 - \lambda & -2\\-2 & - \lambda - 5\end{matrix}\right|$$
| 8 -26| |-5 11|
K2 = | | + | |
|-26 53 | |11 53|$$I_{1} = 3$$
$$I_{2} = -44$$
$$I_{3} = 1224$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 3 \lambda - 44$$
$$K_{2} = -638$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 3 \lambda - 44 = 0$$
$$\lambda_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{185}}{2}$$
$$\lambda_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{185}}{2}$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$\tilde x^{2} \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{185}}{2}\right) + \tilde y^{2} \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{185}}{2}\right) - \frac{306}{11} = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\frac{306}{11} \frac{1}{- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{185}}{2}}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{306}{11} \frac{1}{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{185}}{2}}} = -1$$
- está reducida a la forma canónica