Sr Examen
7x^2+16xy+-23y^2+-14x+-16y+-218=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 -218 - 23*y - 16*y - 14*x + 7*x + 16*x*y = 0
$$7 x^{2} + 16 x y - 14 x - 23 y^{2} - 16 y - 218 = 0$$
7*x^2 + 16*x*y - 14*x - 23*y^2 - 16*y - 218 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$7 x^{2} + 16 x y - 14 x - 23 y^{2} - 16 y - 218 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 7$$
$$a_{12} = 8$$
$$a_{13} = -7$$
$$a_{22} = -23$$
$$a_{23} = -8$$
$$a_{33} = -218$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}7 & 8\\8 & -23\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -225$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$7 x_{0} + 8 y_{0} - 7 = 0$$
$$8 x_{0} - 23 y_{0} - 8 = 0$$
entonces
$$x_{0} = 1$$
$$y_{0} = 0$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - 7 x_{0} - 8 y_{0} - 218$$
$$a'_{33} = -225$$
entonces la ecuación se transformará en
$$7 x'^{2} + 16 x' y' - 23 y'^{2} - 225 = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{15}{8}$$
entonces
$$\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{15}{8} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{8}{17}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{15}{17}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{4 \sqrt{17}}{17}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{17}}{17}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{4 \sqrt{17} \tilde x}{17} - \frac{\sqrt{17} \tilde y}{17}$$
$$y' = \frac{\sqrt{17} \tilde x}{17} + \frac{4 \sqrt{17} \tilde y}{17}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$7 x'^{2} + 16 x' y' - 23 y'^{2} - 225 = 0$$
en
$$- 23 \left(\frac{\sqrt{17} \tilde x}{17} + \frac{4 \sqrt{17} \tilde y}{17}\right)^{2} + 16 \left(\frac{\sqrt{17} \tilde x}{17} + \frac{4 \sqrt{17} \tilde y}{17}\right) \left(\frac{4 \sqrt{17} \tilde x}{17} - \frac{\sqrt{17} \tilde y}{17}\right) + 7 \left(\frac{4 \sqrt{17} \tilde x}{17} - \frac{\sqrt{17} \tilde y}{17}\right)^{2} - 225 = 0$$
simplificamos
$$9 \tilde x^{2} - 25 \tilde y^{2} - 225 = 0$$
$$- 9 \tilde x^{2} + 25 \tilde y^{2} + 225 = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$\frac{\tilde x^{2}}{25} - \frac{\tilde y^{2}}{9} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{4 \sqrt{17}}{17}, \ \frac{\sqrt{17}}{17}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{17}}{17}, \ \frac{4 \sqrt{17}}{17}\right)$$
$$7 x^{2} + 16 x y - 14 x - 23 y^{2} - 16 y - 218 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 7$$
$$a_{12} = 8$$
$$a_{13} = -7$$
$$a_{22} = -23$$
$$a_{23} = -8$$
$$a_{33} = -218$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}7 & 8\\8 & -23\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -225$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$7 x_{0} + 8 y_{0} - 7 = 0$$
$$8 x_{0} - 23 y_{0} - 8 = 0$$
entonces
$$x_{0} = 1$$
$$y_{0} = 0$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - 7 x_{0} - 8 y_{0} - 218$$
$$a'_{33} = -225$$
entonces la ecuación se transformará en
$$7 x'^{2} + 16 x' y' - 23 y'^{2} - 225 = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{15}{8}$$
entonces
$$\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{15}{8} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{8}{17}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{15}{17}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{4 \sqrt{17}}{17}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{17}}{17}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{4 \sqrt{17} \tilde x}{17} - \frac{\sqrt{17} \tilde y}{17}$$
$$y' = \frac{\sqrt{17} \tilde x}{17} + \frac{4 \sqrt{17} \tilde y}{17}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$7 x'^{2} + 16 x' y' - 23 y'^{2} - 225 = 0$$
en
$$- 23 \left(\frac{\sqrt{17} \tilde x}{17} + \frac{4 \sqrt{17} \tilde y}{17}\right)^{2} + 16 \left(\frac{\sqrt{17} \tilde x}{17} + \frac{4 \sqrt{17} \tilde y}{17}\right) \left(\frac{4 \sqrt{17} \tilde x}{17} - \frac{\sqrt{17} \tilde y}{17}\right) + 7 \left(\frac{4 \sqrt{17} \tilde x}{17} - \frac{\sqrt{17} \tilde y}{17}\right)^{2} - 225 = 0$$
simplificamos
$$9 \tilde x^{2} - 25 \tilde y^{2} - 225 = 0$$
$$- 9 \tilde x^{2} + 25 \tilde y^{2} + 225 = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$\frac{\tilde x^{2}}{25} - \frac{\tilde y^{2}}{9} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(1, 0)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{4 \sqrt{17}}{17}, \ \frac{\sqrt{17}}{17}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{17}}{17}, \ \frac{4 \sqrt{17}}{17}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$7 x^{2} + 16 x y - 14 x - 23 y^{2} - 16 y - 218 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 7$$
$$a_{12} = 8$$
$$a_{13} = -7$$
$$a_{22} = -23$$
$$a_{23} = -8$$
$$a_{33} = -218$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = -16$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}7 & 8 & -7\\8 & -23 & -8\\-7 & -8 & -218\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}7 - \lambda & 8\\8 & - \lambda - 23\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = -16$$
$$I_{2} = -225$$
$$I_{3} = 50625$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + 16 \lambda - 225$$
$$K_{2} = 3375$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} + 16 \lambda - 225 = 0$$
$$\lambda_{1} = 9$$
$$\lambda_{2} = -25$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$9 \tilde x^{2} - 25 \tilde y^{2} - 225 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{25} - \frac{\tilde y^{2}}{9} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
$$7 x^{2} + 16 x y - 14 x - 23 y^{2} - 16 y - 218 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 7$$
$$a_{12} = 8$$
$$a_{13} = -7$$
$$a_{22} = -23$$
$$a_{23} = -8$$
$$a_{33} = -218$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = -16$$
|7 8 |
I2 = | |
|8 -23|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}7 & 8 & -7\\8 & -23 & -8\\-7 & -8 & -218\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}7 - \lambda & 8\\8 & - \lambda - 23\end{matrix}\right|$$
|7 -7 | |-23 -8 |
K2 = | | + | |
|-7 -218| |-8 -218|$$I_{1} = -16$$
$$I_{2} = -225$$
$$I_{3} = 50625$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + 16 \lambda - 225$$
$$K_{2} = 3375$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} + 16 \lambda - 225 = 0$$
$$\lambda_{1} = 9$$
$$\lambda_{2} = -25$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$9 \tilde x^{2} - 25 \tilde y^{2} - 225 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{25} - \frac{\tilde y^{2}}{9} = 1$$
- está reducida a la forma canónica