Sr Examen

Otras calculadoras

Forma canónica/ 5x^2+6y-8y^2+8x+14y+5=0

5x^2+6y-8y^2+8x+14y+5=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
       2      2                 
5 - 8*y  + 5*x  + 8*x + 20*y = 0
5x2+8x−8y2+20y+5=05 x^{2} + 8 x - 8 y^{2} + 20 y + 5 = 0 
5*x^2 + 8*x - 8*y^2 + 20*y + 5 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
5x2+8x−8y2+20y+5=05 x^{2} + 8 x - 8 y^{2} + 20 y + 5 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=5a_{11} = 5
a12=0a_{12} = 0
a13=4a_{13} = 4
a22=−8a_{22} = -8
a23=10a_{23} = 10
a33=5a_{33} = 5
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣500−8∣\Delta = \left|\begin{matrix}5 & 0\\0 & -8\end{matrix}\right|
Δ=−40\Delta = -40
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
5x0+4=05 x_{0} + 4 = 0
10−8y0=010 - 8 y_{0} = 0
entonces
x0=−45x_{0} = - \frac{4}{5}
y0=54y_{0} = \frac{5}{4}
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=4x0+10y0+5a'_{33} = 4 x_{0} + 10 y_{0} + 5
a33′=14310a'_{33} = \frac{143}{10}
entonces la ecuación se transformará en
5x′2−8y′2+14310=05 x'^{2} - 8 y'^{2} + \frac{143}{10} = 0
Esta ecuación es una hipérbola
x~214350−y~214380=−1\frac{\tilde x^{2}}{\frac{143}{50}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{143}{80}} = -1
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(-4/5, 5/4)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(1, 0)\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)
e⃗2=(0, 1)\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
5x2+8x−8y2+20y+5=05 x^{2} + 8 x - 8 y^{2} + 20 y + 5 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=5a_{11} = 5
a12=0a_{12} = 0
a13=4a_{13} = 4
a22=−8a_{22} = -8
a23=10a_{23} = 10
a33=5a_{33} = 5
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=−3I_{1} = -3
     |5  0 |
I2 = |     |
     |0  -8|

I3=∣5040−8104105∣I_{3} = \left|\begin{matrix}5 & 0 & 4\\0 & -8 & 10\\4 & 10 & 5\end{matrix}\right|
I(λ)=∣5−λ00−λ−8∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}5 - \lambda & 0\\0 & - \lambda - 8\end{matrix}\right|
     |5  4|   |-8  10|
K2 = |    | + |      |
     |4  5|   |10  5 |

I1=−3I_{1} = -3
I2=−40I_{2} = -40
I3=−572I_{3} = -572
I(λ)=λ2+3λ−40I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + 3 \lambda - 40
K2=−131K_{2} = -131
Como
I2<0∧I3≠0I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2+3λ−40=0\lambda^{2} + 3 \lambda - 40 = 0
λ1=5\lambda_{1} = 5
λ2=−8\lambda_{2} = -8
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
5x~2−8y~2+14310=05 \tilde x^{2} - 8 \tilde y^{2} + \frac{143}{10} = 0
x~214350−y~214380=−1\frac{\tilde x^{2}}{\frac{143}{50}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{143}{80}} = -1
- está reducida a la forma canónica
    © Sr Examen – Калькулятор