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Forma canónica/ -3x^2+5y^2-16x+10y+111=0

-3x^2+5y^2-16x+10y+111=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
                2      2           
111 - 16*x - 3*x  + 5*y  + 10*y = 0
−3x2−16x+5y2+10y+111=0- 3 x^{2} - 16 x + 5 y^{2} + 10 y + 111 = 0 
-3*x^2 - 16*x + 5*y^2 + 10*y + 111 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
−3x2−16x+5y2+10y+111=0- 3 x^{2} - 16 x + 5 y^{2} + 10 y + 111 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=−3a_{11} = -3
a12=0a_{12} = 0
a13=−8a_{13} = -8
a22=5a_{22} = 5
a23=5a_{23} = 5
a33=111a_{33} = 111
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣−3005∣\Delta = \left|\begin{matrix}-3 & 0\\0 & 5\end{matrix}\right|
Δ=−15\Delta = -15
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
−3x0−8=0- 3 x_{0} - 8 = 0
5y0+5=05 y_{0} + 5 = 0
entonces
x0=−83x_{0} = - \frac{8}{3}
y0=−1y_{0} = -1
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=−8x0+5y0+111a'_{33} = - 8 x_{0} + 5 y_{0} + 111
a33′=3823a'_{33} = \frac{382}{3}
entonces la ecuación se transformará en
−3x′2+5y′2+3823=0- 3 x'^{2} + 5 y'^{2} + \frac{382}{3} = 0
Esta ecuación es una hipérbola
x~23829−y~238215=1\frac{\tilde x^{2}}{\frac{382}{9}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{382}{15}} = 1
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(-8/3, -1)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(1, 0)\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)
e⃗2=(0, 1)\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
−3x2−16x+5y2+10y+111=0- 3 x^{2} - 16 x + 5 y^{2} + 10 y + 111 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=−3a_{11} = -3
a12=0a_{12} = 0
a13=−8a_{13} = -8
a22=5a_{22} = 5
a23=5a_{23} = 5
a33=111a_{33} = 111
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=2I_{1} = 2
     |-3  0|
I2 = |     |
     |0   5|

I3=∣−30−8055−85111∣I_{3} = \left|\begin{matrix}-3 & 0 & -8\\0 & 5 & 5\\-8 & 5 & 111\end{matrix}\right|
I(λ)=∣−λ−3005−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda - 3 & 0\\0 & 5 - \lambda\end{matrix}\right|
     |-3  -8 |   |5   5 |
K2 = |       | + |      |
     |-8  111|   |5  111|

I1=2I_{1} = 2
I2=−15I_{2} = -15
I3=−1910I_{3} = -1910
I(λ)=λ2−2λ−15I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 2 \lambda - 15
K2=133K_{2} = 133
Como
I2<0∧I3≠0I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2−2λ−15=0\lambda^{2} - 2 \lambda - 15 = 0
λ1=5\lambda_{1} = 5
λ2=−3\lambda_{2} = -3
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
5x~2−3y~2+3823=05 \tilde x^{2} - 3 \tilde y^{2} + \frac{382}{3} = 0
x~238215−y~23829=−1\frac{\tilde x^{2}}{\frac{382}{15}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{382}{9}} = -1
- está reducida a la forma canónica
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