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Forma canónica/ x^2-y^2-4x+6y+9=0

x^2-y^2-4x+6y+9=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
     2    2                
9 + x  - y  - 4*x + 6*y = 0
x2−4x−y2+6y+9=0x^{2} - 4 x - y^{2} + 6 y + 9 = 0 
x^2 - 4*x - y^2 + 6*y + 9 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
x2−4x−y2+6y+9=0x^{2} - 4 x - y^{2} + 6 y + 9 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=1a_{11} = 1
a12=0a_{12} = 0
a13=−2a_{13} = -2
a22=−1a_{22} = -1
a23=3a_{23} = 3
a33=9a_{33} = 9
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣100−1∣\Delta = \left|\begin{matrix}1 & 0\\0 & -1\end{matrix}\right|
Δ=−1\Delta = -1
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
x0−2=0x_{0} - 2 = 0
3−y0=03 - y_{0} = 0
entonces
x0=2x_{0} = 2
y0=3y_{0} = 3
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=−2x0+3y0+9a'_{33} = - 2 x_{0} + 3 y_{0} + 9
a33′=14a'_{33} = 14
entonces la ecuación se transformará en
x′2−y′2+14=0x'^{2} - y'^{2} + 14 = 0
Esta ecuación es una hipérbola
x~214−y~214=−1\frac{\tilde x^{2}}{14} - \frac{\tilde y^{2}}{14} = -1
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(2, 3)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(1, 0)\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)
e⃗2=(0, 1)\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
x2−4x−y2+6y+9=0x^{2} - 4 x - y^{2} + 6 y + 9 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=1a_{11} = 1
a12=0a_{12} = 0
a13=−2a_{13} = -2
a22=−1a_{22} = -1
a23=3a_{23} = 3
a33=9a_{33} = 9
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=0I_{1} = 0
     |1  0 |
I2 = |     |
     |0  -1|

I3=∣10−20−13−239∣I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & -2\\0 & -1 & 3\\-2 & 3 & 9\end{matrix}\right|
I(λ)=∣1−λ00−λ−1∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & 0\\0 & - \lambda - 1\end{matrix}\right|
     |1   -2|   |-1  3|
K2 = |      | + |     |
     |-2  9 |   |3   9|

I1=0I_{1} = 0
I2=−1I_{2} = -1
I3=−14I_{3} = -14
I(λ)=λ2−1I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 1
K2=−13K_{2} = -13
Como
I2<0∧I3≠0I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2−1=0\lambda^{2} - 1 = 0
λ1=−1\lambda_{1} = -1
λ2=1\lambda_{2} = 1
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
−x~2+y~2+14=0- \tilde x^{2} + \tilde y^{2} + 14 = 0
x~214−y~214=1\frac{\tilde x^{2}}{14} - \frac{\tilde y^{2}}{14} = 1
- está reducida a la forma canónica
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