Se da la ecuación de la línea de 2-o orden: x2−4x+y2+6y+9=0 Esta ecuación tiene la forma: a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0 donde a11=1 a12=0 a13=−2 a22=1 a23=3 a33=9 Calculemos el determinante Δ=a11a12a12a22 o, sustituimos Δ=1001 Δ=1 Como Δ no es igual a 0, entonces hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones a11x0+a12y0+a13=0 a12x0+a22y0+a23=0 sustituimos coeficientes x0−2=0 y0+3=0 entonces x0=2 y0=−3 Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y' a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0 donde a33′=a13x0+a23y0+a33 o a33′=−2x0+3y0+9 a33′=−4 entonces la ecuación se transformará en x′2+y′2−4=0 Esta ecuación es una circunferencia
- está reducida a la forma canónica Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(2, -3)
Base de las coordenadas canónicas e1=(1,0) e2=(0,1)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden: x2−4x+y2+6y+9=0 Esta ecuación tiene la forma: a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0 donde a11=1 a12=0 a13=−2 a22=1 a23=3 a33=9 Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes: I1=a11+a22
I1=2 I2=1 I3=−4 I(λ)=λ2−2λ+1 K2=5 Como I2>0∧I1I3<0 entonces por razón de tipos de rectas: esta ecuación tiene el tipo : circunferencia Formulamos la ecuación característica para nuestra línea: −I1λ+I2+λ2=0 o λ2−2λ+1=0 λ1=1 λ2=1 entonces la forma canónica de la ecuación será x~2λ1+y~2λ2+I2I3=0 o x~2+y~2−4=0