4*x^2+44*y^2-40*sqrt(3)*x*y+(128-16*sqrt(3))*x-(128+16*sqrt(3))*y-16=0 forma canónica

Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$4 x^{2} - 40 \sqrt{3} x y + x \left(128 - 16 \sqrt{3}\right) + 44 y^{2} - y \left(16 \sqrt{3} + 128\right) - 16 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = - 20 \sqrt{3}$$
$$a_{13} = 64 - 8 \sqrt{3}$$
$$a_{22} = 44$$
$$a_{23} = -64 - 8 \sqrt{3}$$
$$a_{33} = -16$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}4 & - 20 \sqrt{3}\\- 20 \sqrt{3} & 44\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -1024$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$4 x_{0} - 20 \sqrt{3} y_{0} - 8 \sqrt{3} + 64 = 0$$
$$- 20 \sqrt{3} x_{0} + 44 y_{0} - 64 - 8 \sqrt{3} = 0$$
entonces
$$x_{0} = \frac{73}{32} - \frac{51 \sqrt{3}}{32}$$
$$y_{0} = - \frac{23}{32} + \frac{39 \sqrt{3}}{32}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = x_{0} \left(64 - 8 \sqrt{3}\right) + y_{0} \left(-64 - 8 \sqrt{3}\right) - 16$$
$$a'_{33} = \left(-64 - 8 \sqrt{3}\right) \left(- \frac{23}{32} + \frac{39 \sqrt{3}}{32}\right) + \left(\frac{73}{32} - \frac{51 \sqrt{3}}{32}\right) \left(64 - 8 \sqrt{3}\right) - 16$$
entonces la ecuación se transformará en
$$4 x'^{2} - 40 \sqrt{3} x' y' + 44 y'^{2} + \left(-64 - 8 \sqrt{3}\right) \left(- \frac{23}{32} + \frac{39 \sqrt{3}}{32}\right) + \left(\frac{73}{32} - \frac{51 \sqrt{3}}{32}\right) \left(64 - 8 \sqrt{3}\right) - 16 = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
entonces
$$\phi = \frac{\pi}{6}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{1}{2}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{1}{2}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}$$
$$y' = \frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$4 x'^{2} - 40 \sqrt{3} x' y' + 44 y'^{2} + \left(-64 - 8 \sqrt{3}\right) \left(- \frac{23}{32} + \frac{39 \sqrt{3}}{32}\right) + \left(\frac{73}{32} - \frac{51 \sqrt{3}}{32}\right) \left(64 - 8 \sqrt{3}\right) - 16 = 0$$
en
$$44 \left(\frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right)^{2} - 40 \sqrt{3} \left(\frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}\right) + 4 \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}\right)^{2} + \left(-64 - 8 \sqrt{3}\right) \left(- \frac{23}{32} + \frac{39 \sqrt{3}}{32}\right) + \left(\frac{73}{32} - \frac{51 \sqrt{3}}{32}\right) \left(64 - 8 \sqrt{3}\right) - 16 = 0$$
simplificamos
$$- 16 \tilde x^{2} + 64 \tilde y^{2} - \frac{385 \sqrt{3}}{2} + 185 = 0$$
$$16 \tilde x^{2} - 64 \tilde y^{2} - 185 + \frac{385 \sqrt{3}}{2} = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$\frac{\tilde x^{2}}{- \frac{185}{16} + \frac{385 \sqrt{3}}{32}} - \frac{\tilde y^{2}}{- \frac{185}{64} + \frac{385 \sqrt{3}}{128}} = -1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O

           ___              ___ 
 73   51*\/ 3     23   39*\/ 3  
(-- - --------, - -- + --------)
 32      32       32      32    

Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \ \frac{1}{2}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{1}{2}, \ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$