Sr Examen
sqrt3*x^2+2*xy+y^2/sqrt3+2sqrt6*x+2sqrt2*y=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
___ 2
___ 2 ___ ___ \/ 3 *y
\/ 3 *x + 2*x*y + 2*x*\/ 6 + 2*y*\/ 2 + -------- = 0
3
$$\sqrt{3} x^{2} + 2 x y + 2 \sqrt{6} x + \frac{\sqrt{3} y^{2}}{3} + 2 \sqrt{2} y = 0$$
sqrt(3)*x^2 + 2*x*y + 2*sqrt(6)*x + sqrt(3)*y^2/3 + 2*sqrt(2)*y = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$\sqrt{3} x^{2} + 2 x y + 2 \sqrt{6} x + \frac{\sqrt{3} y^{2}}{3} + 2 \sqrt{2} y = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = \sqrt{3}$$
$$a_{12} = 1$$
$$a_{13} = \sqrt{6}$$
$$a_{22} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$a_{23} = \sqrt{2}$$
$$a_{33} = 0$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}\sqrt{3} & 1\\1 & \frac{\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
entonces
$$\phi = \frac{\pi}{6}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{1}{2}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{1}{2}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}$$
$$y' = \frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$\sqrt{3} x'^{2} + 2 x' y' + 2 \sqrt{6} x' + \frac{\sqrt{3} y'^{2}}{3} + 2 \sqrt{2} y' = 0$$
en
$$\frac{\sqrt{3} \left(\frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right)^{2}}{3} + 2 \left(\frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}\right) + 2 \sqrt{2} \left(\frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right) + \sqrt{3} \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}\right)^{2} + 2 \sqrt{6} \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}\right) = 0$$
simplificamos
$$\frac{4 \sqrt{3} \tilde x^{2}}{3} + 4 \sqrt{2} \tilde x = 0$$
Esta ecuación es con línea recta
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = 0 \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{0}{2}$$
$$y_{0} = \frac{0}{2} + 0 \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \ \frac{1}{2}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{1}{2}, \ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
$$\sqrt{3} x^{2} + 2 x y + 2 \sqrt{6} x + \frac{\sqrt{3} y^{2}}{3} + 2 \sqrt{2} y = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = \sqrt{3}$$
$$a_{12} = 1$$
$$a_{13} = \sqrt{6}$$
$$a_{22} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$a_{23} = \sqrt{2}$$
$$a_{33} = 0$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}\sqrt{3} & 1\\1 & \frac{\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
entonces
$$\phi = \frac{\pi}{6}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{1}{2}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{1}{2}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}$$
$$y' = \frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$\sqrt{3} x'^{2} + 2 x' y' + 2 \sqrt{6} x' + \frac{\sqrt{3} y'^{2}}{3} + 2 \sqrt{2} y' = 0$$
en
$$\frac{\sqrt{3} \left(\frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right)^{2}}{3} + 2 \left(\frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}\right) + 2 \sqrt{2} \left(\frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right) + \sqrt{3} \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}\right)^{2} + 2 \sqrt{6} \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}\right) = 0$$
simplificamos
$$\frac{4 \sqrt{3} \tilde x^{2}}{3} + 4 \sqrt{2} \tilde x = 0$$
Esta ecuación es con línea recta
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = 0 \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{0}{2}$$
$$y_{0} = \frac{0}{2} + 0 \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \ \frac{1}{2}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{1}{2}, \ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$\sqrt{3} x^{2} + 2 x y + 2 \sqrt{6} x + \frac{\sqrt{3} y^{2}}{3} + 2 \sqrt{2} y = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = \sqrt{3}$$
$$a_{12} = 1$$
$$a_{13} = \sqrt{6}$$
$$a_{22} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$a_{23} = \sqrt{2}$$
$$a_{33} = 0$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}\sqrt{3} & 1 & \sqrt{6}\\1 & \frac{\sqrt{3}}{3} & \sqrt{2}\\\sqrt{6} & \sqrt{2} & 0\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda + \sqrt{3} & 1\\1 & - \lambda + \frac{\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = 0$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - \frac{4 \sqrt{3} \lambda}{3}$$
$$K_{2} = -8$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} = 0 \wedge K_{2} < 0 \wedge I_{1} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : dos rectos paralelos
$$I_{1} \tilde y^{2} + \frac{K_{2}}{I_{1}} = 0$$
o
$$\frac{4 \sqrt{3} \tilde y^{2}}{3} - 2 \sqrt{3} = 0$$
- está reducida a la forma canónica
$$\sqrt{3} x^{2} + 2 x y + 2 \sqrt{6} x + \frac{\sqrt{3} y^{2}}{3} + 2 \sqrt{2} y = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = \sqrt{3}$$
$$a_{12} = 1$$
$$a_{13} = \sqrt{6}$$
$$a_{22} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$a_{23} = \sqrt{2}$$
$$a_{33} = 0$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$$
| ___ |
|\/ 3 1 |
| |
I2 = | ___|
| \/ 3 |
| 1 -----|
| 3 |$$I_{3} = \left|\begin{matrix}\sqrt{3} & 1 & \sqrt{6}\\1 & \frac{\sqrt{3}}{3} & \sqrt{2}\\\sqrt{6} & \sqrt{2} & 0\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda + \sqrt{3} & 1\\1 & - \lambda + \frac{\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\right|$$
| ___ |
| ___ ___| |\/ 3 ___|
|\/ 3 \/ 6 | |----- \/ 2 |
K2 = | | + | 3 |
| ___ | | |
|\/ 6 0 | | ___ |
|\/ 2 0 |$$I_{1} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = 0$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - \frac{4 \sqrt{3} \lambda}{3}$$
$$K_{2} = -8$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} = 0 \wedge K_{2} < 0 \wedge I_{1} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : dos rectos paralelos
$$I_{1} \tilde y^{2} + \frac{K_{2}}{I_{1}} = 0$$
o
$$\frac{4 \sqrt{3} \tilde y^{2}}{3} - 2 \sqrt{3} = 0$$
None
- está reducida a la forma canónica