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Forma canónica/ sqrt3*x^2+2*xy+y^2/sqrt3+2sqrt6*x+2sqrt2*y=0

sqrt3*x^2+2*xy+y^2/sqrt3+2sqrt6*x+2sqrt2*y=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
                                             ___  2    
  ___  2                 ___         ___   \/ 3 *y     
\/ 3 *x  + 2*x*y + 2*x*\/ 6  + 2*y*\/ 2  + -------- = 0
                                              3
3x2+2xy+26x+3y23+22y=0\sqrt{3} x^{2} + 2 x y + 2 \sqrt{6} x + \frac{\sqrt{3} y^{2}}{3} + 2 \sqrt{2} y = 0 
sqrt(3)*x^2 + 2*x*y + 2*sqrt(6)*x + sqrt(3)*y^2/3 + 2*sqrt(2)*y = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
3x2+2xy+26x+3y23+22y=0\sqrt{3} x^{2} + 2 x y + 2 \sqrt{6} x + \frac{\sqrt{3} y^{2}}{3} + 2 \sqrt{2} y = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=3a_{11} = \sqrt{3}
a12=1a_{12} = 1
a13=6a_{13} = \sqrt{6}
a22=33a_{22} = \frac{\sqrt{3}}{3}
a23=2a_{23} = \sqrt{2}
a33=0a_{33} = 0
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣31133∣\Delta = \left|\begin{matrix}\sqrt{3} & 1\\1 & \frac{\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\right|
Δ=0\Delta = 0
Como
Δ\Delta
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=33\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{3}
entonces
ϕ=π6\phi = \frac{\pi}{6}
sin⁡(2ϕ)=32\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}
cos⁡(2ϕ)=12\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{1}{2}
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=32\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{3}}{2}
sin⁡(ϕ)=12\sin{\left(\phi \right)} = \frac{1}{2}
sustituimos coeficientes
x′=3x~2−y~2x' = \frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}
y′=x~2+3y~2y' = \frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}
entonces la ecuación se transformará de
3x′2+2x′y′+26x′+3y′23+22y′=0\sqrt{3} x'^{2} + 2 x' y' + 2 \sqrt{6} x' + \frac{\sqrt{3} y'^{2}}{3} + 2 \sqrt{2} y' = 0
en
3(x~2+3y~2)23+2(x~2+3y~2)(3x~2−y~2)+22(x~2+3y~2)+3(3x~2−y~2)2+26(3x~2−y~2)=0\frac{\sqrt{3} \left(\frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right)^{2}}{3} + 2 \left(\frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}\right) + 2 \sqrt{2} \left(\frac{\tilde x}{2} + \frac{\sqrt{3} \tilde y}{2}\right) + \sqrt{3} \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}\right)^{2} + 2 \sqrt{6} \left(\frac{\sqrt{3} \tilde x}{2} - \frac{\tilde y}{2}\right) = 0
simplificamos
43x~23+42x~=0\frac{4 \sqrt{3} \tilde x^{2}}{3} + 4 \sqrt{2} \tilde x = 0
Esta ecuación es con línea recta
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
x0=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y0=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
x0=032+02x_{0} = 0 \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{0}{2}
y0=02+032y_{0} = \frac{0}{2} + 0 \frac{\sqrt{3}}{2}
x0=0x_{0} = 0
y0=0y_{0} = 0
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(32, 12)\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, \ \frac{1}{2}\right)
e⃗2=(−12, 32)\vec e_2 = \left( - \frac{1}{2}, \ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
3x2+2xy+26x+3y23+22y=0\sqrt{3} x^{2} + 2 x y + 2 \sqrt{6} x + \frac{\sqrt{3} y^{2}}{3} + 2 \sqrt{2} y = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=3a_{11} = \sqrt{3}
a12=1a_{12} = 1
a13=6a_{13} = \sqrt{6}
a22=33a_{22} = \frac{\sqrt{3}}{3}
a23=2a_{23} = \sqrt{2}
a33=0a_{33} = 0
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=433I_{1} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}
     |  ___       |
     |\/ 3     1  |
     |            |
I2 = |         ___|
     |       \/ 3 |
     |  1    -----|
     |         3  |

I3=∣3161332620∣I_{3} = \left|\begin{matrix}\sqrt{3} & 1 & \sqrt{6}\\1 & \frac{\sqrt{3}}{3} & \sqrt{2}\\\sqrt{6} & \sqrt{2} & 0\end{matrix}\right|
I(λ)=∣−λ+311−λ+33∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda + \sqrt{3} & 1\\1 & - \lambda + \frac{\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\right|
                      |  ___       |
     |  ___    ___|   |\/ 3     ___|
     |\/ 3   \/ 6 |   |-----  \/ 2 |
K2 = |            | + |  3         |
     |  ___       |   |            |
     |\/ 6     0  |   |  ___       |
                      |\/ 2     0  |

I1=433I_{1} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}
I2=0I_{2} = 0
I3=0I_{3} = 0
I(λ)=λ2−43λ3I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - \frac{4 \sqrt{3} \lambda}{3}
K2=−8K_{2} = -8
Como
I2=0∧I3=0∧K2<0∧I1≠0I_{2} = 0 \wedge I_{3} = 0 \wedge K_{2} < 0 \wedge I_{1} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : dos rectos paralelos
I1y~2+K2I1=0I_{1} \tilde y^{2} + \frac{K_{2}}{I_{1}} = 0
o
43y~23−23=0\frac{4 \sqrt{3} \tilde y^{2}}{3} - 2 \sqrt{3} = 0
None

- está reducida a la forma canónica
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