Sr Examen

r(2i+6j-4k)=3i+j+3k forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src]
-4*I - 3*k + r*(-4*k + 8*I) = 0
$$- 3 k + r \left(- 4 k + 8 i\right) - 4 i = 0$$
-3*k + r*(-4*k + 8*i) - 4*i = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$- 3 k + r \left(- 4 k + 8 i\right) - 4 i = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} r^{2} + 2 a_{12} k r + 2 a_{13} r + a_{22} k^{2} + 2 a_{23} k + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = -2$$
$$a_{13} = 4 i$$
$$a_{22} = 0$$
$$a_{23} = - \frac{3}{2}$$
$$a_{33} = - 4 i$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}0 & -2\\-2 & 0\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -4$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} r_{0} + a_{12} k_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} r_{0} + a_{22} k_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$- 2 k_{0} + 4 i = 0$$
$$- 2 r_{0} - \frac{3}{2} = 0$$
entonces
$$r_{0} = - \frac{3}{4}$$
$$k_{0} = 2 i$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} r'^{2} + 2 a_{12} k' r' + a_{22} k'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} r_{0} + a_{23} k_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - \frac{3 k_{0}}{2} + 4 i r_{0} - 4 i$$
$$a'_{33} = - 10 i$$
entonces la ecuación se transformará en
$$- 4 k' r' - 10 i = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$r' = - \tilde k \sin{\left(\phi \right)} + \tilde r \cos{\left(\phi \right)}$$
$$k' = \tilde k \cos{\left(\phi \right)} + \tilde r \sin{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = 0$$
entonces
$$\phi = \frac{\pi}{4}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = 1$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = 0$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
sustituimos coeficientes
$$r' = - \frac{\sqrt{2} \tilde k}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde r}{2}$$
$$k' = \frac{\sqrt{2} \tilde k}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde r}{2}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$- 4 k' r' - 10 i = 0$$
en
$$- 4 \left(- \frac{\sqrt{2} \tilde k}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde r}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2} \tilde k}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde r}{2}\right) - 10 i = 0$$
simplificamos
$$2 \tilde k^{2} - 2 \tilde r^{2} - 10 i = 0$$
$$- 2 \tilde k^{2} + 2 \tilde r^{2} + 10 i = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
None

- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(-3/4, 2*I)

Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$- 3 k + r \left(- 4 k + 8 i\right) - 4 i = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} r^{2} + 2 a_{12} k r + 2 a_{13} r + a_{22} k^{2} + 2 a_{23} k + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = -2$$
$$a_{13} = 4 i$$
$$a_{22} = 0$$
$$a_{23} = - \frac{3}{2}$$
$$a_{33} = - 4 i$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 0$$
     |0   -2|
I2 = |      |
     |-2  0 |

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}0 & -2 & 4 i\\-2 & 0 & - \frac{3}{2}\\4 i & - \frac{3}{2} & - 4 i\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda & -2\\-2 & - \lambda\end{matrix}\right|$$
     | 0   4*I |   | 0    -3/2|
K2 = |         | + |          |
     |4*I  -4*I|   |-3/2  -4*I|

$$I_{1} = 0$$
$$I_{2} = -4$$
$$I_{3} = 40 i$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 4$$
$$K_{2} = \frac{55}{4}$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 4 = 0$$
$$\lambda_{1} = -2$$
$$\lambda_{2} = 2$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde k^{2} \lambda_{2} + \tilde r^{2} \lambda_{1} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$2 \tilde k^{2} - 2 \tilde r^{2} - 10 i = 0$$
None

- está reducida a la forma canónica