Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Forma canónica:
- -2x1^2+x2sqrt2+xsqrt2+2^2x1x2+2^2x1x3+6x2x3
- x^2+4xz-y^2-2yz+3z^2=0
- y^2=16x
- x^2+4*y^2+2*x-32*y+64=0
- Derivada de:
-
11
- Integral de d{x}:
- 11
- Límite de la función:
- 11
-
Expresiones idénticas
- y^ dos -5x-6y= once
- y al cuadrado menos 5x menos 6y es igual a 11
- y en el grado dos menos 5x menos 6y es igual a once
- y2-5x-6y=11
- y²-5x-6y=11
- y en el grado 2-5x-6y=11
-
Expresiones semejantes
- y^2-5x+6y=11
- y^2+5x-6y=11
y^2-5x-6y=11 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 -11 + y - 6*y - 5*x = 0
$$- 5 x + y^{2} - 6 y - 11 = 0$$
-5*x + y^2 - 6*y - 11 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$- 5 x + y^{2} - 6 y - 11 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = - \frac{5}{2}$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = -3$$
$$a_{33} = -11$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}0 & 0\\0 & 1\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
$$\left(\tilde y - 3\right)^{2} = 5 \tilde x + 20$$
$$\tilde y'^{2} = 5 \tilde x + 20$$
Esta ecuación es una parábola
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = 0 \cdot 0$$
$$y_{0} = 0 \cdot 0$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$
$$- 5 x + y^{2} - 6 y - 11 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = - \frac{5}{2}$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = -3$$
$$a_{33} = -11$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}0 & 0\\0 & 1\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
$$\left(\tilde y - 3\right)^{2} = 5 \tilde x + 20$$
$$\tilde y'^{2} = 5 \tilde x + 20$$
Esta ecuación es una parábola
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = 0 \cdot 0$$
$$y_{0} = 0 \cdot 0$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$- 5 x + y^{2} - 6 y - 11 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = - \frac{5}{2}$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = -3$$
$$a_{33} = -11$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 1$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{5}{2}\\0 & 1 & -3\\- \frac{5}{2} & -3 & -11\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda & 0\\0 & 1 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 1$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = - \frac{25}{4}$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - \lambda$$
$$K_{2} = - \frac{105}{4}$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
$$I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0$$
o
$$5 \tilde x + \tilde y^{2} = 0$$
$$\tilde y^{2} = 5 \tilde x$$
- está reducida a la forma canónica
$$- 5 x + y^{2} - 6 y - 11 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = - \frac{5}{2}$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = -3$$
$$a_{33} = -11$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 1$$
|0 0|
I2 = | |
|0 1|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{5}{2}\\0 & 1 & -3\\- \frac{5}{2} & -3 & -11\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda & 0\\0 & 1 - \lambda\end{matrix}\right|$$
| 0 -5/2| |1 -3 |
K2 = | | + | |
|-5/2 -11 | |-3 -11|$$I_{1} = 1$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = - \frac{25}{4}$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - \lambda$$
$$K_{2} = - \frac{105}{4}$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
$$I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0$$
o
$$5 \tilde x + \tilde y^{2} = 0$$
$$\tilde y^{2} = 5 \tilde x$$
- está reducida a la forma canónica