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Forma canónica/ 117x^2-52y^2-90x-8y-19=0

117x^2-52y^2-90x-8y-19=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
                 2              2    
-19 - 90*x - 52*y  - 8*y + 117*x  = 0
117x2−90x−52y2−8y−19=0117 x^{2} - 90 x - 52 y^{2} - 8 y - 19 = 0 
117*x^2 - 90*x - 52*y^2 - 8*y - 19 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
117x2−90x−52y2−8y−19=0117 x^{2} - 90 x - 52 y^{2} - 8 y - 19 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=117a_{11} = 117
a12=0a_{12} = 0
a13=−45a_{13} = -45
a22=−52a_{22} = -52
a23=−4a_{23} = -4
a33=−19a_{33} = -19
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣11700−52∣\Delta = \left|\begin{matrix}117 & 0\\0 & -52\end{matrix}\right|
Δ=−6084\Delta = -6084
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
117x0−45=0117 x_{0} - 45 = 0
−52y0−4=0- 52 y_{0} - 4 = 0
entonces
x0=513x_{0} = \frac{5}{13}
y0=−113y_{0} = - \frac{1}{13}
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=−45x0−4y0−19a'_{33} = - 45 x_{0} - 4 y_{0} - 19
a33′=−36a'_{33} = -36
entonces la ecuación se transformará en
117x′2−52y′2−36=0117 x'^{2} - 52 y'^{2} - 36 = 0
Esta ecuación es una hipérbola
x~2413−y~2913=1\frac{\tilde x^{2}}{\frac{4}{13}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{9}{13}} = 1
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(5/13, -1/13)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(1, 0)\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)
e⃗2=(0, 1)\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
117x2−90x−52y2−8y−19=0117 x^{2} - 90 x - 52 y^{2} - 8 y - 19 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=117a_{11} = 117
a12=0a_{12} = 0
a13=−45a_{13} = -45
a22=−52a_{22} = -52
a23=−4a_{23} = -4
a33=−19a_{33} = -19
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=65I_{1} = 65
     |117   0 |
I2 = |        |
     | 0   -52|

I3=∣1170−450−52−4−45−4−19∣I_{3} = \left|\begin{matrix}117 & 0 & -45\\0 & -52 & -4\\-45 & -4 & -19\end{matrix}\right|
I(λ)=∣117−λ00−λ−52∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}117 - \lambda & 0\\0 & - \lambda - 52\end{matrix}\right|
     |117  -45|   |-52  -4 |
K2 = |        | + |        |
     |-45  -19|   |-4   -19|

I1=65I_{1} = 65
I2=−6084I_{2} = -6084
I3=219024I_{3} = 219024
I(λ)=λ2−65λ−6084I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 65 \lambda - 6084
K2=−3276K_{2} = -3276
Como
I2<0∧I3≠0I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2−65λ−6084=0\lambda^{2} - 65 \lambda - 6084 = 0
λ1=117\lambda_{1} = 117
λ2=−52\lambda_{2} = -52
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
117x~2−52y~2−36=0117 \tilde x^{2} - 52 \tilde y^{2} - 36 = 0
x~2413−y~2913=1\frac{\tilde x^{2}}{\frac{4}{13}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{9}{13}} = 1
- está reducida a la forma canónica
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