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Forma canónica/ 4x^2+4xy+y^2-12x-6y+5=0

4x^2+4xy+y^2-12x-6y+5=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
     2                   2            
5 + y  - 12*x - 6*y + 4*x  + 4*x*y = 0
4x2+4xy−12x+y2−6y+5=04 x^{2} + 4 x y - 12 x + y^{2} - 6 y + 5 = 0 
4*x^2 + 4*x*y - 12*x + y^2 - 6*y + 5 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
4x2+4xy−12x+y2−6y+5=04 x^{2} + 4 x y - 12 x + y^{2} - 6 y + 5 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=4a_{11} = 4
a12=2a_{12} = 2
a13=−6a_{13} = -6
a22=1a_{22} = 1
a23=−3a_{23} = -3
a33=5a_{33} = 5
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣4221∣\Delta = \left|\begin{matrix}4 & 2\\2 & 1\end{matrix}\right|
Δ=0\Delta = 0
Como
Δ\Delta
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=34\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{3}{4}
entonces
ϕ=acot⁡(34)2\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{4} \right)}}{2}
sin⁡(2ϕ)=45\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{4}{5}
cos⁡(2ϕ)=35\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{3}{5}
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=255\cos{\left(\phi \right)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}
sin⁡(ϕ)=55\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{5}}{5}
sustituimos coeficientes
x′=25x~5−5y~5x' = \frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}
y′=5x~5+25y~5y' = \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}
entonces la ecuación se transformará de
4x′2+4x′y′−12x′+y′2−6y′+5=04 x'^{2} + 4 x' y' - 12 x' + y'^{2} - 6 y' + 5 = 0
en
(5x~5+25y~5)2+4(5x~5+25y~5)(25x~5−5y~5)−6(5x~5+25y~5)+4(25x~5−5y~5)2−12(25x~5−5y~5)+5=0\left(\frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} + 4 \left(\frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right) \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right) - 6 \left(\frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right) + 4 \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} - 12 \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right) + 5 = 0
simplificamos
5x~2−65x~+5=05 \tilde x^{2} - 6 \sqrt{5} \tilde x + 5 = 0
5x~2−65x~=−55 \tilde x^{2} - 6 \sqrt{5} \tilde x = -5
(5x~−3)2=9\left(\sqrt{5} \tilde x - 3\right)^{2} = 9
(x~−355)2=95\left(\tilde x - \frac{3 \sqrt{5}}{5}\right)^{2} = \frac{9}{5}
x~′2=95\tilde x'^{2} = \frac{9}{5}
Esta ecuación es dos rectas paralelas
- está reducida a la forma canónica
donde se ha hecho la sustitución
x~′=x~−355\tilde x' = \tilde x - \frac{3 \sqrt{5}}{5}
y~′=y~\tilde y' = \tilde y
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
x0=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y0=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
x0=055+255355x_{0} = 0 \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{2 \sqrt{5}}{5} \frac{3 \sqrt{5}}{5}
y0=0255+55355y_{0} = 0 \frac{2 \sqrt{5}}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} \frac{3 \sqrt{5}}{5}
x0=65x_{0} = \frac{6}{5}
y0=35y_{0} = \frac{3}{5}
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(6/5, 3/5)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(255, 55)\vec e_1 = \left( \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \ \frac{\sqrt{5}}{5}\right)
e⃗2=(−55, 255)\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{5}}{5}, \ \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
4x2+4xy−12x+y2−6y+5=04 x^{2} + 4 x y - 12 x + y^{2} - 6 y + 5 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=4a_{11} = 4
a12=2a_{12} = 2
a13=−6a_{13} = -6
a22=1a_{22} = 1
a23=−3a_{23} = -3
a33=5a_{33} = 5
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=5I_{1} = 5
     |4  2|
I2 = |    |
     |2  1|

I3=∣42−621−3−6−35∣I_{3} = \left|\begin{matrix}4 & 2 & -6\\2 & 1 & -3\\-6 & -3 & 5\end{matrix}\right|
I(λ)=∣4−λ221−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}4 - \lambda & 2\\2 & 1 - \lambda\end{matrix}\right|
     |4   -6|   |1   -3|
K2 = |      | + |      |
     |-6  5 |   |-3  5 |

I1=5I_{1} = 5
I2=0I_{2} = 0
I3=0I_{3} = 0
I(λ)=λ2−5λI{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 5 \lambda
K2=−20K_{2} = -20
Como
I2=0∧I3=0∧K2<0∧I1≠0I_{2} = 0 \wedge I_{3} = 0 \wedge K_{2} < 0 \wedge I_{1} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : dos rectos paralelos
I1y~2+K2I1=0I_{1} \tilde y^{2} + \frac{K_{2}}{I_{1}} = 0
o
5y~2−4=05 \tilde y^{2} - 4 = 0
None

- está reducida a la forma canónica
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