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Forma canónica/ 9x^2-16y^2-54x-64y-127=0

9x^2-16y^2-54x-64y-127=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
                         2      2    
-127 - 64*y - 54*x - 16*y  + 9*x  = 0
9x2−54x−16y2−64y−127=09 x^{2} - 54 x - 16 y^{2} - 64 y - 127 = 0 
9*x^2 - 54*x - 16*y^2 - 64*y - 127 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
9x2−54x−16y2−64y−127=09 x^{2} - 54 x - 16 y^{2} - 64 y - 127 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=9a_{11} = 9
a12=0a_{12} = 0
a13=−27a_{13} = -27
a22=−16a_{22} = -16
a23=−32a_{23} = -32
a33=−127a_{33} = -127
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣900−16∣\Delta = \left|\begin{matrix}9 & 0\\0 & -16\end{matrix}\right|
Δ=−144\Delta = -144
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
9x0−27=09 x_{0} - 27 = 0
−16y0−32=0- 16 y_{0} - 32 = 0
entonces
x0=3x_{0} = 3
y0=−2y_{0} = -2
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=−27x0−32y0−127a'_{33} = - 27 x_{0} - 32 y_{0} - 127
a33′=−144a'_{33} = -144
entonces la ecuación se transformará en
9x′2−16y′2−144=09 x'^{2} - 16 y'^{2} - 144 = 0
Esta ecuación es una hipérbola
x~216−y~29=1\frac{\tilde x^{2}}{16} - \frac{\tilde y^{2}}{9} = 1
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(3, -2)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(1, 0)\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)
e⃗2=(0, 1)\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
9x2−54x−16y2−64y−127=09 x^{2} - 54 x - 16 y^{2} - 64 y - 127 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=9a_{11} = 9
a12=0a_{12} = 0
a13=−27a_{13} = -27
a22=−16a_{22} = -16
a23=−32a_{23} = -32
a33=−127a_{33} = -127
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=−7I_{1} = -7
     |9   0 |
I2 = |      |
     |0  -16|

I3=∣90−270−16−32−27−32−127∣I_{3} = \left|\begin{matrix}9 & 0 & -27\\0 & -16 & -32\\-27 & -32 & -127\end{matrix}\right|
I(λ)=∣9−λ00−λ−16∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}9 - \lambda & 0\\0 & - \lambda - 16\end{matrix}\right|
     | 9   -27 |   |-16  -32 |
K2 = |         | + |         |
     |-27  -127|   |-32  -127|

I1=−7I_{1} = -7
I2=−144I_{2} = -144
I3=20736I_{3} = 20736
I(λ)=λ2+7λ−144I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + 7 \lambda - 144
K2=−864K_{2} = -864
Como
I2<0∧I3≠0I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2+7λ−144=0\lambda^{2} + 7 \lambda - 144 = 0
λ1=9\lambda_{1} = 9
λ2=−16\lambda_{2} = -16
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
9x~2−16y~2−144=09 \tilde x^{2} - 16 \tilde y^{2} - 144 = 0
x~216−y~29=1\frac{\tilde x^{2}}{16} - \frac{\tilde y^{2}}{9} = 1
- está reducida a la forma canónica
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