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Forma canónica/ 8x^2-2sqrt(6)xy-2sqrt(10)x+4sqrt(15)x+7y^2-4sqrt(10)y-2sqrt(15)+5

8x^2-2sqrt(6)xy-2sqrt(10)x+4sqrt(15)x+7y^2-4sqrt(10)y-2sqrt(15)+5 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
        ____      2      2         ____         ____         ____           ___    
5 - 2*\/ 15  + 7*y  + 8*x  - 4*y*\/ 10  - 2*x*\/ 10  + 4*x*\/ 15  - 2*x*y*\/ 6  = 0
8x2−26xy−210x+415x+7y2−410y−215+5=08 x^{2} - 2 \sqrt{6} x y - 2 \sqrt{10} x + 4 \sqrt{15} x + 7 y^{2} - 4 \sqrt{10} y - 2 \sqrt{15} + 5 = 0 
8*x^2 - 2*sqrt(6)*x*y - 2*sqrt(10)*x + 4*sqrt(15)*x + 7*y^2 - 4*sqrt(10)*y - 2*sqrt(15) + 5 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
8x2−26xy−210x+415x+7y2−410y−215+5=08 x^{2} - 2 \sqrt{6} x y - 2 \sqrt{10} x + 4 \sqrt{15} x + 7 y^{2} - 4 \sqrt{10} y - 2 \sqrt{15} + 5 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=8a_{11} = 8
a12=−6a_{12} = - \sqrt{6}
a13=−10+215a_{13} = - \sqrt{10} + 2 \sqrt{15}
a22=7a_{22} = 7
a23=−210a_{23} = - 2 \sqrt{10}
a33=5−215a_{33} = 5 - 2 \sqrt{15}
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣8−6−67∣\Delta = \left|\begin{matrix}8 & - \sqrt{6}\\- \sqrt{6} & 7\end{matrix}\right|
Δ=50\Delta = 50
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
8x0−6y0−10+215=08 x_{0} - \sqrt{6} y_{0} - \sqrt{10} + 2 \sqrt{15} = 0
−6x0+7y0−210=0- \sqrt{6} x_{0} + 7 y_{0} - 2 \sqrt{10} = 0
entonces
x0=−155+71050x_{0} = - \frac{\sqrt{15}}{5} + \frac{7 \sqrt{10}}{50}
y0=1525+105y_{0} = \frac{\sqrt{15}}{25} + \frac{\sqrt{10}}{5}
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=x0(−10+215)−210y0−215+5a'_{33} = x_{0} \left(- \sqrt{10} + 2 \sqrt{15}\right) - 2 \sqrt{10} y_{0} - 2 \sqrt{15} + 5
a33′=−215−210(1525+105)+(−10+215)(−155+71050)+5a'_{33} = - 2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{10} \left(\frac{\sqrt{15}}{25} + \frac{\sqrt{10}}{5}\right) + \left(- \sqrt{10} + 2 \sqrt{15}\right) \left(- \frac{\sqrt{15}}{5} + \frac{7 \sqrt{10}}{50}\right) + 5
entonces la ecuación se transformará en
8x′2−26x′y′+7y′2−215−210(1525+105)+(−10+215)(−155+71050)+5=08 x'^{2} - 2 \sqrt{6} x' y' + 7 y'^{2} - 2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{10} \left(\frac{\sqrt{15}}{25} + \frac{\sqrt{10}}{5}\right) + \left(- \sqrt{10} + 2 \sqrt{15}\right) \left(- \frac{\sqrt{15}}{5} + \frac{7 \sqrt{10}}{50}\right) + 5 = 0
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=−612\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{\sqrt{6}}{12}
entonces
ϕ=−acot⁡(612)2\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{\sqrt{6}}{12} \right)}}{2}
sin⁡(2ϕ)=−265\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}
cos⁡(2ϕ)=15\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{1}{5}
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=155\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{15}}{5}
sin⁡(ϕ)=−105\sin{\left(\phi \right)} = - \frac{\sqrt{10}}{5}
sustituimos coeficientes
x′=15x~5+10y~5x' = \frac{\sqrt{15} \tilde x}{5} + \frac{\sqrt{10} \tilde y}{5}
y′=−10x~5+15y~5y' = - \frac{\sqrt{10} \tilde x}{5} + \frac{\sqrt{15} \tilde y}{5}
entonces la ecuación se transformará de
8x′2−26x′y′+7y′2−215−210(1525+105)+(−10+215)(−155+71050)+5=08 x'^{2} - 2 \sqrt{6} x' y' + 7 y'^{2} - 2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{10} \left(\frac{\sqrt{15}}{25} + \frac{\sqrt{10}}{5}\right) + \left(- \sqrt{10} + 2 \sqrt{15}\right) \left(- \frac{\sqrt{15}}{5} + \frac{7 \sqrt{10}}{50}\right) + 5 = 0
en
7(−10x~5+15y~5)2−26(−10x~5+15y~5)(15x~5+10y~5)+8(15x~5+10y~5)2−215−210(1525+105)+(−10+215)(−155+71050)+5=07 \left(- \frac{\sqrt{10} \tilde x}{5} + \frac{\sqrt{15} \tilde y}{5}\right)^{2} - 2 \sqrt{6} \left(- \frac{\sqrt{10} \tilde x}{5} + \frac{\sqrt{15} \tilde y}{5}\right) \left(\frac{\sqrt{15} \tilde x}{5} + \frac{\sqrt{10} \tilde y}{5}\right) + 8 \left(\frac{\sqrt{15} \tilde x}{5} + \frac{\sqrt{10} \tilde y}{5}\right)^{2} - 2 \sqrt{15} - 2 \sqrt{10} \left(\frac{\sqrt{15}}{25} + \frac{\sqrt{10}}{5}\right) + \left(- \sqrt{10} + 2 \sqrt{15}\right) \left(- \frac{\sqrt{15}}{5} + \frac{7 \sqrt{10}}{50}\right) + 5 = 0
simplificamos
10x~2+5y~2−215−325+26=010 \tilde x^{2} + 5 \tilde y^{2} - 2 \sqrt{15} - \frac{32}{5} + 2 \sqrt{6} = 0
Esta ecuación es una elipsis
x~2(110101−26+325+215)2+y~2(1551−26+325+215)2=1\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{10} \sqrt{10}}{\frac{1}{\sqrt{- 2 \sqrt{6} + \frac{32}{5} + 2 \sqrt{15}}}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{5} \sqrt{5}}{\frac{1}{\sqrt{- 2 \sqrt{6} + \frac{32}{5} + 2 \sqrt{15}}}}\right)^{2}} = 1
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
     ____       ____    ____     ____ 
   \/ 15    7*\/ 10   \/ 10    \/ 15  
(- ------ + --------, ------ + ------)
     5         50       5        25

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(155, −105)\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{15}}{5}, \ - \frac{\sqrt{10}}{5}\right)
e⃗2=(105, 155)\vec e_2 = \left( \frac{\sqrt{10}}{5}, \ \frac{\sqrt{15}}{5}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
8x2−26xy−210x+415x+7y2−410y−215+5=08 x^{2} - 2 \sqrt{6} x y - 2 \sqrt{10} x + 4 \sqrt{15} x + 7 y^{2} - 4 \sqrt{10} y - 2 \sqrt{15} + 5 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=8a_{11} = 8
a12=−6a_{12} = - \sqrt{6}
a13=−10+215a_{13} = - \sqrt{10} + 2 \sqrt{15}
a22=7a_{22} = 7
a23=−210a_{23} = - 2 \sqrt{10}
a33=5−215a_{33} = 5 - 2 \sqrt{15}
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=15I_{1} = 15
     |           ___|
     |  8     -\/ 6 |
I2 = |              |
     |   ___        |
     |-\/ 6     7   |

I3=∣8−6−10+215−67−210−10+215−2105−215∣I_{3} = \left|\begin{matrix}8 & - \sqrt{6} & - \sqrt{10} + 2 \sqrt{15}\\- \sqrt{6} & 7 & - 2 \sqrt{10}\\- \sqrt{10} + 2 \sqrt{15} & - 2 \sqrt{10} & 5 - 2 \sqrt{15}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣8−λ−6−67−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}8 - \lambda & - \sqrt{6}\\- \sqrt{6} & 7 - \lambda\end{matrix}\right|
     |                         ____       ____|   |                 ____  |
     |         8           - \/ 10  + 2*\/ 15 |   |    7       -2*\/ 10   |
K2 = |                                        | + |                       |
     |    ____       ____             ____    |   |     ____          ____|
     |- \/ 10  + 2*\/ 15      5 - 2*\/ 15     |   |-2*\/ 10   5 - 2*\/ 15 |

I1=15I_{1} = 15
I2=50I_{2} = 50
I3=−10015−320+1006I_{3} = - 100 \sqrt{15} - 320 + 100 \sqrt{6}
I(λ)=λ2−15λ+50I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 15 \lambda + 50
K2=−3015−35+206K_{2} = - 30 \sqrt{15} - 35 + 20 \sqrt{6}
Como
I2>0∧I1I3<0I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2−15λ+50=0\lambda^{2} - 15 \lambda + 50 = 0
λ1=10\lambda_{1} = 10
λ2=5\lambda_{2} = 5
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
10x~2+5y~2−215−325+26=010 \tilde x^{2} + 5 \tilde y^{2} - 2 \sqrt{15} - \frac{32}{5} + 2 \sqrt{6} = 0
x~2(110101−26+325+215)2+y~2(1551−26+325+215)2=1\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{10} \sqrt{10}}{\frac{1}{\sqrt{- 2 \sqrt{6} + \frac{32}{5} + 2 \sqrt{15}}}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{5} \sqrt{5}}{\frac{1}{\sqrt{- 2 \sqrt{6} + \frac{32}{5} + 2 \sqrt{15}}}}\right)^{2}} = 1
- está reducida a la forma canónica
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