Sr Examen

Lang:

(x-4)^2+(y+1)^2=1 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

Ha introducido [src]

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-1 + (1 + y)  + (-4 + x)  = 0

\left(x - 4\right)^{2} + \left(y + 1\right)^{2} - 1 = 0

(x - 4)^2 + (y + 1)^2 - 1 = 0

Solución detallada

Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:

\left(x - 4\right)^{2} + \left(y + 1\right)^{2} - 1 = 0

Esta ecuación tiene la forma:

a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0

donde

a_{11} = 1

a_{12} = 0

a_{13} = -4

a_{22} = 1

a_{23} = 1

a_{33} = 16

Calculemos el determinante

\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|

o, sustituimos

\Delta = \left|\begin{matrix}1 & 0\\0 & 1\end{matrix}\right|

\Delta = 1

Como

\Delta

no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones

a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0

a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0

sustituimos coeficientes

x_{0} - 4 = 0

y_{0} + 1 = 0

entonces

x_{0} = 4

y_{0} = -1

Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'

a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0

donde

a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}

a'_{33} = - 4 x_{0} + y_{0} + 16

a'_{33} = -1

entonces la ecuación se transformará en

x'^{2} + y'^{2} - 1 = 0

Esta ecuación es una circunferencia

\frac{\tilde x^{2}}{\left(1^{-1}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(1^{-1}\right)^{2}} = 1

- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O

(4, -1)

Base de las coordenadas canónicas

\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)

\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)

Método de invariantes

Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:

\left(x - 4\right)^{2} + \left(y + 1\right)^{2} - 1 = 0

Esta ecuación tiene la forma:

a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0

donde

a_{11} = 1

a_{12} = 0

a_{13} = -4

a_{22} = 1

a_{23} = 1

a_{33} = 16

Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:

I_{1} = a_{11} + a_{22}

     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|

I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|

     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes

I_{1} = 2

     |1  0|
I2 = |    |
     |0  1|

I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & -4\\0 & 1 & 1\\-4 & 1 & 16\end{matrix}\right|

I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & 0\\0 & 1 - \lambda\end{matrix}\right|

     |1   -4|   |1  1 |
K2 = |      | + |     |
     |-4  16|   |1  16|

I_{1} = 2

I_{2} = 1

I_{3} = -1

I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 2 \lambda + 1

K_{2} = 15

Como

I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0

entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : circunferencia
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:

- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0

\lambda^{2} - 2 \lambda + 1 = 0

\lambda_{1} = 1

\lambda_{2} = 1

entonces la forma canónica de la ecuación será

\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0

\tilde x^{2} + \tilde y^{2} - 1 = 0

\frac{\tilde x^{2}}{\left(1^{-1}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(1^{-1}\right)^{2}} = 1

- está reducida a la forma canónica