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Forma canónica/ x^2+z^2+4xy-8zx-4yz-2y^2-14x+14z-4y+16=0

x^2+z^2+4xy-8zx-4yz-2y^2-14x+14z-4y+16=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
      2    2                   2                                   
16 + x  + z  - 14*x - 4*y - 2*y  + 14*z - 8*x*z - 4*y*z + 4*x*y = 0
x2+4xy−8xz−14x−2y2−4yz−4y+z2+14z+16=0x^{2} + 4 x y - 8 x z - 14 x - 2 y^{2} - 4 y z - 4 y + z^{2} + 14 z + 16 = 0 
x^2 + 4*x*y - 8*x*z - 14*x - 2*y^2 - 4*y*z - 4*y + z^2 + 14*z + 16 = 0
Método de invariantes
Se da la ecuación de superficie de 2 grado:
x2+4xy−8xz−14x−2y2−4yz−4y+z2+14z+16=0x^{2} + 4 x y - 8 x z - 14 x - 2 y^{2} - 4 y z - 4 y + z^{2} + 14 z + 16 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13xz+2a14x+a22y2+2a23yz+2a24y+a33z2+2a34z+a44=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0
donde
a11=1a_{11} = 1
a12=2a_{12} = 2
a13=−4a_{13} = -4
a14=−7a_{14} = -7
a22=−2a_{22} = -2
a23=−2a_{23} = -2
a24=−2a_{24} = -2
a33=1a_{33} = 1
a34=7a_{34} = 7
a44=16a_{44} = 16
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22+a33I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}
     |a11  a12|   |a22  a23|   |a11  a13|
I2 = |        | + |        | + |        |
     |a12  a22|   |a23  a33|   |a13  a33|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I4=∣a11a12a13a14a12a22a23a24a13a23a33a34a14a24a34a44∣I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a13a12a22−λa23a13a23a33−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a14|   |a22  a24|   |a33  a34|
K2 = |        | + |        | + |        |
     |a14  a44|   |a24  a44|   |a34  a44|

     |a11  a12  a14|   |a22  a23  a24|   |a11  a13  a14|
     |             |   |             |   |             |
K3 = |a12  a22  a24| + |a23  a33  a34| + |a13  a33  a34|
     |             |   |             |   |             |
     |a14  a24  a44|   |a24  a34  a44|   |a14  a34  a44|

sustituimos coeficientes
I1=0I_{1} = 0
     |1  2 |   |-2  -2|   |1   -4|
I2 = |     | + |      | + |      |
     |2  -2|   |-2  1 |   |-4  1 |

I3=∣12−42−2−2−4−21∣I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & 2 & -4\\2 & -2 & -2\\-4 & -2 & 1\end{matrix}\right|
I4=∣12−4−72−2−2−2−4−217−7−2716∣I_{4} = \left|\begin{matrix}1 & 2 & -4 & -7\\2 & -2 & -2 & -2\\-4 & -2 & 1 & 7\\-7 & -2 & 7 & 16\end{matrix}\right|
I(λ)=∣1−λ2−42−λ−2−2−4−21−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & 2 & -4\\2 & - \lambda - 2 & -2\\-4 & -2 & 1 - \lambda\end{matrix}\right|
     |1   -7|   |-2  -2|   |1  7 |
K2 = |      | + |      | + |     |
     |-7  16|   |-2  16|   |7  16|

     |1   2   -7|   |-2  -2  -2|   |1   -4  -7|
     |          |   |          |   |          |
K3 = |2   -2  -2| + |-2  1   7 | + |-4  1   7 |
     |          |   |          |   |          |
     |-7  -2  16|   |-2  7   16|   |-7  7   16|

I1=0I_{1} = 0
I2=−27I_{2} = -27
I3=54I_{3} = 54
I4=0I_{4} = 0
I(λ)=−λ3+27λ+54I{\left(\lambda \right)} = - \lambda^{3} + 27 \lambda + 54
K2=−102K_{2} = -102
K3=162K_{3} = 162
Como
I3 != 0

entonces por razón de tipos de rectas:
hay que
Formulamos la ecuación característica para nuestra superficie:
−I1λ2+I2λ−I3+λ3=0- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda - I_{3} + \lambda^{3} = 0
o
λ3−27λ−54=0\lambda^{3} - 27 \lambda - 54 = 0
λ1=6\lambda_{1} = 6
λ2=−3\lambda_{2} = -3
λ3=−3\lambda_{3} = -3
entonces la forma canónica de la ecuación será
(z~2λ3+(x~2λ1+y~2λ2))+I4I3=0\left(\tilde z^{2} \lambda_{3} + \left(\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2}\right)\right) + \frac{I_{4}}{I_{3}} = 0
6x~2−3y~2−3z~2=06 \tilde x^{2} - 3 \tilde y^{2} - 3 \tilde z^{2} = 0
−x~2(66)2+(y~2(33)2+z~2(33)2)=0- \frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)^{2}} + \left(\frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}} + \frac{\tilde z^{2}}{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}}\right) = 0
es la ecuación para el tipo cono
- está reducida a la forma canónica
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