Sr Examen

Otras calculadoras

Forma canónica/ -2x^2+4xy+y^2

-2x^2+4xy+y^2 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
 2      2            
y  - 2*x  + 4*x*y = 0
−2x2+4xy+y2=0- 2 x^{2} + 4 x y + y^{2} = 0 
-2*x^2 + 4*x*y + y^2 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
−2x2+4xy+y2=0- 2 x^{2} + 4 x y + y^{2} = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=−2a_{11} = -2
a12=2a_{12} = 2
a13=0a_{13} = 0
a22=1a_{22} = 1
a23=0a_{23} = 0
a33=0a_{33} = 0
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣−2221∣\Delta = \left|\begin{matrix}-2 & 2\\2 & 1\end{matrix}\right|
Δ=−6\Delta = -6
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
−2x0+2y0=0- 2 x_{0} + 2 y_{0} = 0
2x0+y0=02 x_{0} + y_{0} = 0
entonces
x0=0x_{0} = 0
y0=0y_{0} = 0
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=0a'_{33} = 0
a33′=0a'_{33} = 0
entonces la ecuación se transformará en
−2x′2+4x′y′+y′2=0- 2 x'^{2} + 4 x' y' + y'^{2} = 0
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=−34\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{3}{4}
entonces
ϕ=−acot⁡(34)2\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{4} \right)}}{2}
sin⁡(2ϕ)=−45\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{4}{5}
cos⁡(2ϕ)=35\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{3}{5}
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=255\cos{\left(\phi \right)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}
sin⁡(ϕ)=−55\sin{\left(\phi \right)} = - \frac{\sqrt{5}}{5}
sustituimos coeficientes
x′=25x~5+5y~5x' = \frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}
y′=−5x~5+25y~5y' = - \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}
entonces la ecuación se transformará de
−2x′2+4x′y′+y′2=0- 2 x'^{2} + 4 x' y' + y'^{2} = 0
en
(−5x~5+25y~5)2+4(−5x~5+25y~5)(25x~5+5y~5)−2(25x~5+5y~5)2=0\left(- \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} + 4 \left(- \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right) \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right) - 2 \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} = 0
simplificamos
−3x~2+2y~2=0- 3 \tilde x^{2} + 2 \tilde y^{2} = 0
3x~2−2y~2=03 \tilde x^{2} - 2 \tilde y^{2} = 0
Esta ecuación es una hipérbola degenerada
x~2(33)2−y~2(22)2=0\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}} - \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}} = 0
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(255, −55)\vec e_1 = \left( \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \ - \frac{\sqrt{5}}{5}\right)
e⃗2=(55, 255)\vec e_2 = \left( \frac{\sqrt{5}}{5}, \ \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
−2x2+4xy+y2=0- 2 x^{2} + 4 x y + y^{2} = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=−2a_{11} = -2
a12=2a_{12} = 2
a13=0a_{13} = 0
a22=1a_{22} = 1
a23=0a_{23} = 0
a33=0a_{33} = 0
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=−1I_{1} = -1
     |-2  2|
I2 = |     |
     |2   1|

I3=∣−220210000∣I_{3} = \left|\begin{matrix}-2 & 2 & 0\\2 & 1 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right|
I(λ)=∣−λ−2221−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda - 2 & 2\\2 & 1 - \lambda\end{matrix}\right|
     |-2  0|   |1  0|
K2 = |     | + |    |
     |0   0|   |0  0|

I1=−1I_{1} = -1
I2=−6I_{2} = -6
I3=0I_{3} = 0
I(λ)=λ2+λ−6I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + \lambda - 6
K2=0K_{2} = 0
Como
I3=0∧I2<0I_{3} = 0 \wedge I_{2} < 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola degenerada
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2+λ−6=0\lambda^{2} + \lambda - 6 = 0
λ1=2\lambda_{1} = 2
λ2=−3\lambda_{2} = -3
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
2x~2−3y~2=02 \tilde x^{2} - 3 \tilde y^{2} = 0
x~2(22)2−y~2(33)2=0\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}} - \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}} = 0
- está reducida a la forma canónica
    © Sr Examen – Калькулятор