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Forma canónica/ 11x^2-20xy-4y^2-20x-8y+1=0

11x^2-20xy-4y^2-20x-8y+1=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
                    2       2             
1 - 20*x - 8*y - 4*y  + 11*x  - 20*x*y = 0
11x2−20xy−20x−4y2−8y+1=011 x^{2} - 20 x y - 20 x - 4 y^{2} - 8 y + 1 = 0 
11*x^2 - 20*x*y - 20*x - 4*y^2 - 8*y + 1 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
11x2−20xy−20x−4y2−8y+1=011 x^{2} - 20 x y - 20 x - 4 y^{2} - 8 y + 1 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=11a_{11} = 11
a12=−10a_{12} = -10
a13=−10a_{13} = -10
a22=−4a_{22} = -4
a23=−4a_{23} = -4
a33=1a_{33} = 1
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣11−10−10−4∣\Delta = \left|\begin{matrix}11 & -10\\-10 & -4\end{matrix}\right|
Δ=−144\Delta = -144
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
11x0−10y0−10=011 x_{0} - 10 y_{0} - 10 = 0
−10x0−4y0−4=0- 10 x_{0} - 4 y_{0} - 4 = 0
entonces
x0=0x_{0} = 0
y0=−1y_{0} = -1
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=−10x0−4y0+1a'_{33} = - 10 x_{0} - 4 y_{0} + 1
a33′=5a'_{33} = 5
entonces la ecuación se transformará en
11x′2−20x′y′−4y′2+5=011 x'^{2} - 20 x' y' - 4 y'^{2} + 5 = 0
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=−34\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{3}{4}
entonces
ϕ=−acot⁡(34)2\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{4} \right)}}{2}
sin⁡(2ϕ)=−45\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{4}{5}
cos⁡(2ϕ)=35\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{3}{5}
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=255\cos{\left(\phi \right)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}
sin⁡(ϕ)=−55\sin{\left(\phi \right)} = - \frac{\sqrt{5}}{5}
sustituimos coeficientes
x′=25x~5+5y~5x' = \frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}
y′=−5x~5+25y~5y' = - \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}
entonces la ecuación se transformará de
11x′2−20x′y′−4y′2+5=011 x'^{2} - 20 x' y' - 4 y'^{2} + 5 = 0
en
−4(−5x~5+25y~5)2−20(−5x~5+25y~5)(25x~5+5y~5)+11(25x~5+5y~5)2+5=0- 4 \left(- \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} - 20 \left(- \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right) \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right) + 11 \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} + 5 = 0
simplificamos
16x~2−9y~2+5=016 \tilde x^{2} - 9 \tilde y^{2} + 5 = 0
Esta ecuación es una hipérbola
x~2516−y~259=−1\frac{\tilde x^{2}}{\frac{5}{16}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{5}{9}} = -1
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, -1)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(255, −55)\vec e_1 = \left( \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \ - \frac{\sqrt{5}}{5}\right)
e⃗2=(55, 255)\vec e_2 = \left( \frac{\sqrt{5}}{5}, \ \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
11x2−20xy−20x−4y2−8y+1=011 x^{2} - 20 x y - 20 x - 4 y^{2} - 8 y + 1 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=11a_{11} = 11
a12=−10a_{12} = -10
a13=−10a_{13} = -10
a22=−4a_{22} = -4
a23=−4a_{23} = -4
a33=1a_{33} = 1
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=7I_{1} = 7
     |11   -10|
I2 = |        |
     |-10  -4 |

I3=∣11−10−10−10−4−4−10−41∣I_{3} = \left|\begin{matrix}11 & -10 & -10\\-10 & -4 & -4\\-10 & -4 & 1\end{matrix}\right|
I(λ)=∣11−λ−10−10−λ−4∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}11 - \lambda & -10\\-10 & - \lambda - 4\end{matrix}\right|
     |11   -10|   |-4  -4|
K2 = |        | + |      |
     |-10   1 |   |-4  1 |

I1=7I_{1} = 7
I2=−144I_{2} = -144
I3=−720I_{3} = -720
I(λ)=λ2−7λ−144I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 7 \lambda - 144
K2=−109K_{2} = -109
Como
I2<0∧I3≠0I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2−7λ−144=0\lambda^{2} - 7 \lambda - 144 = 0
λ1=16\lambda_{1} = 16
λ2=−9\lambda_{2} = -9
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
16x~2−9y~2+5=016 \tilde x^{2} - 9 \tilde y^{2} + 5 = 0
x~2516−y~259=−1\frac{\tilde x^{2}}{\frac{5}{16}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{5}{9}} = -1
- está reducida a la forma canónica
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