Sr Examen

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x²-6y²+z²=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src]
 2    2      2    
x  + z  - 6*y  = 0
x26y2+z2=0x^{2} - 6 y^{2} + z^{2} = 0
x^2 - 6*y^2 + z^2 = 0
Método de invariantes
Se da la ecuación de superficie de 2 grado:
x26y2+z2=0x^{2} - 6 y^{2} + z^{2} = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13xz+2a14x+a22y2+2a23yz+2a24y+a33z2+2a34z+a44=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0
donde
a11=1a_{11} = 1
a12=0a_{12} = 0
a13=0a_{13} = 0
a14=0a_{14} = 0
a22=6a_{22} = -6
a23=0a_{23} = 0
a24=0a_{24} = 0
a33=1a_{33} = 1
a34=0a_{34} = 0
a44=0a_{44} = 0
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22+a33I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}
     |a11  a12|   |a22  a23|   |a11  a13|
I2 = |        | + |        | + |        |
     |a12  a22|   |a23  a33|   |a13  a33|

I3=a11a12a13a12a22a23a13a23a33I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I4=a11a12a13a14a12a22a23a24a13a23a33a34a14a24a34a44I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|
I(λ)=a11λa12a13a12a22λa23a13a23a33λI{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a14|   |a22  a24|   |a33  a34|
K2 = |        | + |        | + |        |
     |a14  a44|   |a24  a44|   |a34  a44|

     |a11  a12  a14|   |a22  a23  a24|   |a11  a13  a14|
     |             |   |             |   |             |
K3 = |a12  a22  a24| + |a23  a33  a34| + |a13  a33  a34|
     |             |   |             |   |             |
     |a14  a24  a44|   |a24  a34  a44|   |a14  a34  a44|

sustituimos coeficientes
I1=4I_{1} = -4
     |1  0 |   |-6  0|   |1  0|
I2 = |     | + |     | + |    |
     |0  -6|   |0   1|   |0  1|

I3=100060001I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & -6 & 0\\0 & 0 & 1\end{matrix}\right|
I4=1000060000100000I_{4} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & -6 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right|
I(λ)=1λ000λ60001λI{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & 0 & 0\\0 & - \lambda - 6 & 0\\0 & 0 & 1 - \lambda\end{matrix}\right|
     |1  0|   |-6  0|   |1  0|
K2 = |    | + |     | + |    |
     |0  0|   |0   0|   |0  0|

     |1  0   0|   |-6  0  0|   |1  0  0|
     |        |   |        |   |       |
K3 = |0  -6  0| + |0   1  0| + |0  1  0|
     |        |   |        |   |       |
     |0  0   0|   |0   0  0|   |0  0  0|

I1=4I_{1} = -4
I2=11I_{2} = -11
I3=6I_{3} = -6
I4=0I_{4} = 0
I(λ)=λ34λ2+11λ6I{\left(\lambda \right)} = - \lambda^{3} - 4 \lambda^{2} + 11 \lambda - 6
K2=0K_{2} = 0
K3=0K_{3} = 0
Como
I3 != 0

entonces por razón de tipos de rectas:
hay que
Formulamos la ecuación característica para nuestra superficie:
I1λ2+I2λI3+λ3=0- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda - I_{3} + \lambda^{3} = 0
o
λ3+4λ211λ+6=0\lambda^{3} + 4 \lambda^{2} - 11 \lambda + 6 = 0
λ1=6\lambda_{1} = -6
λ2=1\lambda_{2} = 1
λ3=1\lambda_{3} = 1
entonces la forma canónica de la ecuación será
(z~2λ3+(x~2λ1+y~2λ2))+I4I3=0\left(\tilde z^{2} \lambda_{3} + \left(\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2}\right)\right) + \frac{I_{4}}{I_{3}} = 0
6x~2+y~2+z~2=0- 6 \tilde x^{2} + \tilde y^{2} + \tilde z^{2} = 0
x~2(66)2+(y~212+z~212)=0- \frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)^{2}} + \left(\frac{\tilde y^{2}}{1^{2}} + \frac{\tilde z^{2}}{1^{2}}\right) = 0
es la ecuación para el tipo cono
- está reducida a la forma canónica