Se da la ecuación de la línea de 2-o orden: 45x2−y2−28=0 Esta ecuación tiene la forma: a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0 donde a11=45 a12=0 a13=0 a22=−1 a23=0 a33=−28 Calculemos el determinante Δ=a11a12a12a22 o, sustituimos Δ=4500−1 Δ=−45 Como Δ no es igual a 0, entonces hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones a11x0+a12y0+a13=0 a12x0+a22y0+a23=0 sustituimos coeficientes 45x0=0 −y0=0 entonces x0=0 y0=0 Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y' a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0 donde a33′=a13x0+a23y0+a33 o a33′=−28 a33′=−28 entonces la ecuación se transformará en 45x′2−y′2−28=0 Esta ecuación es una hipérbola 5112x~2−28y~2=1 - está reducida a la forma canónica Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)
Base de las coordenadas canónicas e1=(1,0) e2=(0,1)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden: 45x2−y2−28=0 Esta ecuación tiene la forma: a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0 donde a11=45 a12=0 a13=0 a22=−1 a23=0 a33=−28 Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes: I1=a11+a22
I1=41 I2=−45 I3=35 I(λ)=λ2−4λ−45 K2=−7 Como I2<0∧I3=0 entonces por razón de tipos de rectas: esta ecuación tiene el tipo : hipérbola Formulamos la ecuación característica para nuestra línea: −I1λ+I2+λ2=0 o λ2−4λ−45=0 λ1=−1 λ2=45 entonces la forma canónica de la ecuación será x~2λ1+y~2λ2+I2I3=0 o −x~2+45y~2−28=0 28x~2−5112y~2=−1 - está reducida a la forma canónica