Sr Examen
9x^2-16y^2-54x-64y+127=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
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2 2 127 - 64*y - 54*x - 16*y + 9*x = 0
$$9 x^{2} - 54 x - 16 y^{2} - 64 y + 127 = 0$$
9*x^2 - 54*x - 16*y^2 - 64*y + 127 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$9 x^{2} - 54 x - 16 y^{2} - 64 y + 127 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 9$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -27$$
$$a_{22} = -16$$
$$a_{23} = -32$$
$$a_{33} = 127$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}9 & 0\\0 & -16\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -144$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$9 x_{0} - 27 = 0$$
$$- 16 y_{0} - 32 = 0$$
entonces
$$x_{0} = 3$$
$$y_{0} = -2$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - 27 x_{0} - 32 y_{0} + 127$$
$$a'_{33} = 110$$
entonces la ecuación se transformará en
$$9 x'^{2} - 16 y'^{2} + 110 = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$\frac{\tilde x^{2}}{\frac{110}{9}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{55}{8}} = -1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$
$$9 x^{2} - 54 x - 16 y^{2} - 64 y + 127 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 9$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -27$$
$$a_{22} = -16$$
$$a_{23} = -32$$
$$a_{33} = 127$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}9 & 0\\0 & -16\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -144$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$9 x_{0} - 27 = 0$$
$$- 16 y_{0} - 32 = 0$$
entonces
$$x_{0} = 3$$
$$y_{0} = -2$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = - 27 x_{0} - 32 y_{0} + 127$$
$$a'_{33} = 110$$
entonces la ecuación se transformará en
$$9 x'^{2} - 16 y'^{2} + 110 = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$\frac{\tilde x^{2}}{\frac{110}{9}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{55}{8}} = -1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(3, -2)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$9 x^{2} - 54 x - 16 y^{2} - 64 y + 127 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 9$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -27$$
$$a_{22} = -16$$
$$a_{23} = -32$$
$$a_{33} = 127$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = -7$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}9 & 0 & -27\\0 & -16 & -32\\-27 & -32 & 127\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}9 - \lambda & 0\\0 & - \lambda - 16\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = -7$$
$$I_{2} = -144$$
$$I_{3} = -15840$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + 7 \lambda - 144$$
$$K_{2} = -2642$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} + 7 \lambda - 144 = 0$$
$$\lambda_{1} = 9$$
$$\lambda_{2} = -16$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$9 \tilde x^{2} - 16 \tilde y^{2} + 110 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\frac{110}{9}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{55}{8}} = -1$$
- está reducida a la forma canónica
$$9 x^{2} - 54 x - 16 y^{2} - 64 y + 127 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 9$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -27$$
$$a_{22} = -16$$
$$a_{23} = -32$$
$$a_{33} = 127$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = -7$$
|9 0 |
I2 = | |
|0 -16|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}9 & 0 & -27\\0 & -16 & -32\\-27 & -32 & 127\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}9 - \lambda & 0\\0 & - \lambda - 16\end{matrix}\right|$$
| 9 -27| |-16 -32|
K2 = | | + | |
|-27 127| |-32 127|$$I_{1} = -7$$
$$I_{2} = -144$$
$$I_{3} = -15840$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + 7 \lambda - 144$$
$$K_{2} = -2642$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} + 7 \lambda - 144 = 0$$
$$\lambda_{1} = 9$$
$$\lambda_{2} = -16$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$9 \tilde x^{2} - 16 \tilde y^{2} + 110 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\frac{110}{9}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{55}{8}} = -1$$
- está reducida a la forma canónica