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Forma canónica/ -3x^2+4y^2-18x-16y-23=0

-3x^2+4y^2-18x-16y-23=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
                       2      2    
-23 - 18*x - 16*y - 3*x  + 4*y  = 0
−3x2−18x+4y2−16y−23=0- 3 x^{2} - 18 x + 4 y^{2} - 16 y - 23 = 0 
-3*x^2 - 18*x + 4*y^2 - 16*y - 23 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
−3x2−18x+4y2−16y−23=0- 3 x^{2} - 18 x + 4 y^{2} - 16 y - 23 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=−3a_{11} = -3
a12=0a_{12} = 0
a13=−9a_{13} = -9
a22=4a_{22} = 4
a23=−8a_{23} = -8
a33=−23a_{33} = -23
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣−3004∣\Delta = \left|\begin{matrix}-3 & 0\\0 & 4\end{matrix}\right|
Δ=−12\Delta = -12
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
−3x0−9=0- 3 x_{0} - 9 = 0
4y0−8=04 y_{0} - 8 = 0
entonces
x0=−3x_{0} = -3
y0=2y_{0} = 2
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=−9x0−8y0−23a'_{33} = - 9 x_{0} - 8 y_{0} - 23
a33′=−12a'_{33} = -12
entonces la ecuación se transformará en
−3x′2+4y′2−12=0- 3 x'^{2} + 4 y'^{2} - 12 = 0
Esta ecuación es una hipérbola
x~24−y~23=−1\frac{\tilde x^{2}}{4} - \frac{\tilde y^{2}}{3} = -1
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(-3, 2)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(1, 0)\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)
e⃗2=(0, 1)\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
−3x2−18x+4y2−16y−23=0- 3 x^{2} - 18 x + 4 y^{2} - 16 y - 23 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=−3a_{11} = -3
a12=0a_{12} = 0
a13=−9a_{13} = -9
a22=4a_{22} = 4
a23=−8a_{23} = -8
a33=−23a_{33} = -23
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=1I_{1} = 1
     |-3  0|
I2 = |     |
     |0   4|

I3=∣−30−904−8−9−8−23∣I_{3} = \left|\begin{matrix}-3 & 0 & -9\\0 & 4 & -8\\-9 & -8 & -23\end{matrix}\right|
I(λ)=∣−λ−3004−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda - 3 & 0\\0 & 4 - \lambda\end{matrix}\right|
     |-3  -9 |   |4   -8 |
K2 = |       | + |       |
     |-9  -23|   |-8  -23|

I1=1I_{1} = 1
I2=−12I_{2} = -12
I3=144I_{3} = 144
I(λ)=λ2−λ−12I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - \lambda - 12
K2=−168K_{2} = -168
Como
I2<0∧I3≠0I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2−λ−12=0\lambda^{2} - \lambda - 12 = 0
λ1=4\lambda_{1} = 4
λ2=−3\lambda_{2} = -3
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
4x~2−3y~2−12=04 \tilde x^{2} - 3 \tilde y^{2} - 12 = 0
x~23−y~24=1\frac{\tilde x^{2}}{3} - \frac{\tilde y^{2}}{4} = 1
- está reducida a la forma canónica
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