Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$- 3 x^{2} - 18 x + 4 y^{2} - 16 y - 23 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = -3$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -9$$
$$a_{22} = 4$$
$$a_{23} = -8$$
$$a_{33} = -23$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 1$$
|-3 0|
I2 = | |
|0 4|
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}-3 & 0 & -9\\0 & 4 & -8\\-9 & -8 & -23\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda - 3 & 0\\0 & 4 - \lambda\end{matrix}\right|$$
|-3 -9 | |4 -8 |
K2 = | | + | |
|-9 -23| |-8 -23|
$$I_{1} = 1$$
$$I_{2} = -12$$
$$I_{3} = 144$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - \lambda - 12$$
$$K_{2} = -168$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - \lambda - 12 = 0$$
$$\lambda_{1} = 4$$
$$\lambda_{2} = -3$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$4 \tilde x^{2} - 3 \tilde y^{2} - 12 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{3} - \frac{\tilde y^{2}}{4} = 1$$
- está reducida a la forma canónica