Sr Examen
6x^2+9y^2-4z^2-48x+54y-8z+173=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 2 173 - 48*x - 8*z - 4*z + 6*x + 9*y + 54*y = 0
$$6 x^{2} - 48 x + 9 y^{2} + 54 y - 4 z^{2} - 8 z + 173 = 0$$
6*x^2 - 48*x + 9*y^2 + 54*y - 4*z^2 - 8*z + 173 = 0
Método de invariantes
Se da la ecuación de superficie de 2 grado:
$$6 x^{2} - 48 x + 9 y^{2} + 54 y - 4 z^{2} - 8 z + 173 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0$$
donde
$$a_{11} = 6$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{14} = -24$$
$$a_{22} = 9$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{24} = 27$$
$$a_{33} = -4$$
$$a_{34} = -4$$
$$a_{44} = 173$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 11$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}6 & 0 & 0\\0 & 9 & 0\\0 & 0 & -4\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}6 & 0 & 0 & -24\\0 & 9 & 0 & 27\\0 & 0 & -4 & -4\\-24 & 27 & -4 & 173\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}6 - \lambda & 0 & 0\\0 & 9 - \lambda & 0\\0 & 0 & - \lambda - 4\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 11$$
$$I_{2} = -6$$
$$I_{3} = -216$$
$$I_{4} = 0$$
$$I{\left(\lambda \right)} = - \lambda^{3} + 11 \lambda^{2} + 6 \lambda - 216$$
$$K_{2} = 582$$
$$K_{3} = -5616$$
Como
entonces por razón de tipos de rectas:
hay que
Formulamos la ecuación característica para nuestra superficie:
$$- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda - I_{3} + \lambda^{3} = 0$$
o
$$\lambda^{3} - 11 \lambda^{2} - 6 \lambda + 216 = 0$$
$$\lambda_{1} = 9$$
$$\lambda_{2} = 6$$
$$\lambda_{3} = -4$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\left(\tilde z^{2} \lambda_{3} + \left(\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2}\right)\right) + \frac{I_{4}}{I_{3}} = 0$$
$$9 \tilde x^{2} + 6 \tilde y^{2} - 4 \tilde z^{2} = 0$$
$$- \frac{\tilde z^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} + \left(\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)^{2}}\right) = 0$$
es la ecuación para el tipo cono
- está reducida a la forma canónica
$$6 x^{2} - 48 x + 9 y^{2} + 54 y - 4 z^{2} - 8 z + 173 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0$$
donde
$$a_{11} = 6$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{14} = -24$$
$$a_{22} = 9$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{24} = 27$$
$$a_{33} = -4$$
$$a_{34} = -4$$
$$a_{44} = 173$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
|a11 a12| |a22 a23| |a11 a13|
I2 = | | + | | + | |
|a12 a22| |a23 a33| |a13 a33|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a14| |a22 a24| |a33 a34|
K2 = | | + | | + | |
|a14 a44| |a24 a44| |a34 a44| |a11 a12 a14| |a22 a23 a24| |a11 a13 a14|
| | | | | |
K3 = |a12 a22 a24| + |a23 a33 a34| + |a13 a33 a34|
| | | | | |
|a14 a24 a44| |a24 a34 a44| |a14 a34 a44|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 11$$
|6 0| |9 0 | |6 0 |
I2 = | | + | | + | |
|0 9| |0 -4| |0 -4|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}6 & 0 & 0\\0 & 9 & 0\\0 & 0 & -4\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}6 & 0 & 0 & -24\\0 & 9 & 0 & 27\\0 & 0 & -4 & -4\\-24 & 27 & -4 & 173\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}6 - \lambda & 0 & 0\\0 & 9 - \lambda & 0\\0 & 0 & - \lambda - 4\end{matrix}\right|$$
| 6 -24| |9 27 | |-4 -4 |
K2 = | | + | | + | |
|-24 173| |27 173| |-4 173| | 6 0 -24| |9 0 27 | | 6 0 -24|
| | | | | |
K3 = | 0 9 27 | + |0 -4 -4 | + | 0 -4 -4 |
| | | | | |
|-24 27 173| |27 -4 173| |-24 -4 173|$$I_{1} = 11$$
$$I_{2} = -6$$
$$I_{3} = -216$$
$$I_{4} = 0$$
$$I{\left(\lambda \right)} = - \lambda^{3} + 11 \lambda^{2} + 6 \lambda - 216$$
$$K_{2} = 582$$
$$K_{3} = -5616$$
Como
I3 != 0
entonces por razón de tipos de rectas:
hay que
Formulamos la ecuación característica para nuestra superficie:
$$- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda - I_{3} + \lambda^{3} = 0$$
o
$$\lambda^{3} - 11 \lambda^{2} - 6 \lambda + 216 = 0$$
$$\lambda_{1} = 9$$
$$\lambda_{2} = 6$$
$$\lambda_{3} = -4$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\left(\tilde z^{2} \lambda_{3} + \left(\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2}\right)\right) + \frac{I_{4}}{I_{3}} = 0$$
$$9 \tilde x^{2} + 6 \tilde y^{2} - 4 \tilde z^{2} = 0$$
$$- \frac{\tilde z^{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} + \left(\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\sqrt{6}}{6}\right)^{2}}\right) = 0$$
es la ecuación para el tipo cono
- está reducida a la forma canónica