Sr Examen
4x^2-12xy+9y^2+z^2+4xz-6yz+4x-6y+2z-5=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 2 -5 + z - 6*y + 2*z + 4*x + 4*x + 9*y - 12*x*y - 6*y*z + 4*x*z = 0
$$4 x^{2} - 12 x y + 4 x z + 4 x + 9 y^{2} - 6 y z - 6 y + z^{2} + 2 z - 5 = 0$$
4*x^2 - 12*x*y + 4*x*z + 4*x + 9*y^2 - 6*y*z - 6*y + z^2 + 2*z - 5 = 0
Método de invariantes
Se da la ecuación de superficie de 2 grado:
$$4 x^{2} - 12 x y + 4 x z + 4 x + 9 y^{2} - 6 y z - 6 y + z^{2} + 2 z - 5 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = -6$$
$$a_{13} = 2$$
$$a_{14} = 2$$
$$a_{22} = 9$$
$$a_{23} = -3$$
$$a_{24} = -3$$
$$a_{33} = 1$$
$$a_{34} = 1$$
$$a_{44} = -5$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 14$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}4 & -6 & 2\\-6 & 9 & -3\\2 & -3 & 1\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}4 & -6 & 2 & 2\\-6 & 9 & -3 & -3\\2 & -3 & 1 & 1\\2 & -3 & 1 & -5\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}4 - \lambda & -6 & 2\\-6 & 9 - \lambda & -3\\2 & -3 & 1 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 14$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = 0$$
$$I_{4} = 0$$
$$I{\left(\lambda \right)} = - \lambda^{3} + 14 \lambda^{2}$$
$$K_{2} = -84$$
$$K_{3} = 0$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} = 0 \wedge I_{4} = 0 \wedge K_{3} = 0 \wedge I_{1} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
hay que
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$I_{1} \tilde x^{2} + \frac{K_{2}}{I_{1}} = 0$$
$$14 \tilde x^{2} - 6 = 0$$
$$\tilde x^{2} = \frac{3}{7}$$
es la ecuación para el tipo dos planos paralelos
- está reducida a la forma canónica
$$4 x^{2} - 12 x y + 4 x z + 4 x + 9 y^{2} - 6 y z - 6 y + z^{2} + 2 z - 5 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = -6$$
$$a_{13} = 2$$
$$a_{14} = 2$$
$$a_{22} = 9$$
$$a_{23} = -3$$
$$a_{24} = -3$$
$$a_{33} = 1$$
$$a_{34} = 1$$
$$a_{44} = -5$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
|a11 a12| |a22 a23| |a11 a13|
I2 = | | + | | + | |
|a12 a22| |a23 a33| |a13 a33|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a14| |a22 a24| |a33 a34|
K2 = | | + | | + | |
|a14 a44| |a24 a44| |a34 a44| |a11 a12 a14| |a22 a23 a24| |a11 a13 a14|
| | | | | |
K3 = |a12 a22 a24| + |a23 a33 a34| + |a13 a33 a34|
| | | | | |
|a14 a24 a44| |a24 a34 a44| |a14 a34 a44|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 14$$
|4 -6| |9 -3| |4 2|
I2 = | | + | | + | |
|-6 9 | |-3 1 | |2 1|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}4 & -6 & 2\\-6 & 9 & -3\\2 & -3 & 1\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}4 & -6 & 2 & 2\\-6 & 9 & -3 & -3\\2 & -3 & 1 & 1\\2 & -3 & 1 & -5\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}4 - \lambda & -6 & 2\\-6 & 9 - \lambda & -3\\2 & -3 & 1 - \lambda\end{matrix}\right|$$
|4 2 | |9 -3| |1 1 |
K2 = | | + | | + | |
|2 -5| |-3 -5| |1 -5| |4 -6 2 | |9 -3 -3| |4 2 2 |
| | | | | |
K3 = |-6 9 -3| + |-3 1 1 | + |2 1 1 |
| | | | | |
|2 -3 -5| |-3 1 -5| |2 1 -5|$$I_{1} = 14$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = 0$$
$$I_{4} = 0$$
$$I{\left(\lambda \right)} = - \lambda^{3} + 14 \lambda^{2}$$
$$K_{2} = -84$$
$$K_{3} = 0$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} = 0 \wedge I_{4} = 0 \wedge K_{3} = 0 \wedge I_{1} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
hay que
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$I_{1} \tilde x^{2} + \frac{K_{2}}{I_{1}} = 0$$
$$14 \tilde x^{2} - 6 = 0$$
$$\tilde x^{2} = \frac{3}{7}$$
es la ecuación para el tipo dos planos paralelos
- está reducida a la forma canónica