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Forma canónica/ 3x^2+6x+2y^2-8y-14=0

3x^2+6x+2y^2-8y-14=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
               2      2          
-14 - 8*y + 2*y  + 3*x  + 6*x = 0
3x2+6x+2y2−8y−14=03 x^{2} + 6 x + 2 y^{2} - 8 y - 14 = 0 
3*x^2 + 6*x + 2*y^2 - 8*y - 14 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
3x2+6x+2y2−8y−14=03 x^{2} + 6 x + 2 y^{2} - 8 y - 14 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=3a_{11} = 3
a12=0a_{12} = 0
a13=3a_{13} = 3
a22=2a_{22} = 2
a23=−4a_{23} = -4
a33=−14a_{33} = -14
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣3002∣\Delta = \left|\begin{matrix}3 & 0\\0 & 2\end{matrix}\right|
Δ=6\Delta = 6
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
3x0+3=03 x_{0} + 3 = 0
2y0−4=02 y_{0} - 4 = 0
entonces
x0=−1x_{0} = -1
y0=2y_{0} = 2
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=3x0−4y0−14a'_{33} = 3 x_{0} - 4 y_{0} - 14
a33′=−25a'_{33} = -25
entonces la ecuación se transformará en
3x′2+2y′2−25=03 x'^{2} + 2 y'^{2} - 25 = 0
Esta ecuación es una elipsis
        2            2     
\tilde x     \tilde y      
---------- + ---------- = 1
         2            2    
//  ___\\    //  ___\\     
||\/ 3 ||    ||\/ 2 ||     
||-----||    ||-----||     
|\  3  /|    |\  2  /|     
|-------|    |-------|     
\  1/5  /    \  1/5  /

- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(-1, 2)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(1, 0)\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)
e⃗2=(0, 1)\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
3x2+6x+2y2−8y−14=03 x^{2} + 6 x + 2 y^{2} - 8 y - 14 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=3a_{11} = 3
a12=0a_{12} = 0
a13=3a_{13} = 3
a22=2a_{22} = 2
a23=−4a_{23} = -4
a33=−14a_{33} = -14
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=5I_{1} = 5
     |3  0|
I2 = |    |
     |0  2|

I3=∣30302−43−4−14∣I_{3} = \left|\begin{matrix}3 & 0 & 3\\0 & 2 & -4\\3 & -4 & -14\end{matrix}\right|
I(λ)=∣3−λ002−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}3 - \lambda & 0\\0 & 2 - \lambda\end{matrix}\right|
     |3   3 |   |2   -4 |
K2 = |      | + |       |
     |3  -14|   |-4  -14|

I1=5I_{1} = 5
I2=6I_{2} = 6
I3=−150I_{3} = -150
I(λ)=λ2−5λ+6I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 5 \lambda + 6
K2=−95K_{2} = -95
Como
I2>0∧I1I3<0I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2−5λ+6=0\lambda^{2} - 5 \lambda + 6 = 0
λ1=3\lambda_{1} = 3
λ2=2\lambda_{2} = 2
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
3x~2+2y~2−25=03 \tilde x^{2} + 2 \tilde y^{2} - 25 = 0
        2            2     
\tilde x     \tilde y      
---------- + ---------- = 1
         2            2    
//  ___\\    //  ___\\     
||\/ 3 ||    ||\/ 2 ||     
||-----||    ||-----||     
|\  3  /|    |\  2  /|     
|-------|    |-------|     
\  1/5  /    \  1/5  /

- está reducida a la forma canónica
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