Sr Examen
9x^2-12xy+4y^2+2x-4y+4=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 4 - 4*y + 2*x + 4*y + 9*x - 12*x*y = 0
$$9 x^{2} - 12 x y + 2 x + 4 y^{2} - 4 y + 4 = 0$$
9*x^2 - 12*x*y + 2*x + 4*y^2 - 4*y + 4 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$9 x^{2} - 12 x y + 2 x + 4 y^{2} - 4 y + 4 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 9$$
$$a_{12} = -6$$
$$a_{13} = 1$$
$$a_{22} = 4$$
$$a_{23} = -2$$
$$a_{33} = 4$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}9 & -6\\-6 & 4\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{5}{12}$$
entonces
$$\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{5}{12} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{12}{13}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{5}{13}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{3 \sqrt{13}}{13}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = - \frac{2 \sqrt{13}}{13}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{3 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{2 \sqrt{13} \tilde y}{13}$$
$$y' = - \frac{2 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{3 \sqrt{13} \tilde y}{13}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$9 x'^{2} - 12 x' y' + 2 x' + 4 y'^{2} - 4 y' + 4 = 0$$
en
$$4 \left(- \frac{2 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{3 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right)^{2} - 12 \left(- \frac{2 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{3 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right) \left(\frac{3 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{2 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right) - 4 \left(- \frac{2 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{3 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right) + 9 \left(\frac{3 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{2 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right)^{2} + 2 \left(\frac{3 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{2 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right) + 4 = 0$$
simplificamos
$$13 \tilde x^{2} + \frac{14 \sqrt{13} \tilde x}{13} - \frac{8 \sqrt{13} \tilde y}{13} + 4 = 0$$
$$\left(\sqrt{13} \tilde x + \frac{7}{13}\right)^{2} = \frac{8 \sqrt{13} \tilde y}{13} - \frac{627}{169}$$
$$\left(\tilde x + \frac{7 \sqrt{13}}{169}\right)^{2} = \frac{8 \sqrt{13} \left(\tilde y - \frac{627 \sqrt{13}}{1352}\right)}{169}$$
$$\tilde x'^{2} = \frac{8 \sqrt{13} \tilde y'}{169}$$
Esta ecuación es una parábola
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = 0 \frac{3 \sqrt{13}}{13} + 0 \left(- \frac{2 \sqrt{13}}{13}\right)$$
$$y_{0} = 0 \left(- \frac{2 \sqrt{13}}{13}\right) + 0 \frac{3 \sqrt{13}}{13}$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{3 \sqrt{13}}{13}, \ - \frac{2 \sqrt{13}}{13}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( \frac{2 \sqrt{13}}{13}, \ \frac{3 \sqrt{13}}{13}\right)$$
$$9 x^{2} - 12 x y + 2 x + 4 y^{2} - 4 y + 4 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 9$$
$$a_{12} = -6$$
$$a_{13} = 1$$
$$a_{22} = 4$$
$$a_{23} = -2$$
$$a_{33} = 4$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}9 & -6\\-6 & 4\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{5}{12}$$
entonces
$$\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{5}{12} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{12}{13}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{5}{13}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{3 \sqrt{13}}{13}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = - \frac{2 \sqrt{13}}{13}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{3 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{2 \sqrt{13} \tilde y}{13}$$
$$y' = - \frac{2 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{3 \sqrt{13} \tilde y}{13}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$9 x'^{2} - 12 x' y' + 2 x' + 4 y'^{2} - 4 y' + 4 = 0$$
en
$$4 \left(- \frac{2 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{3 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right)^{2} - 12 \left(- \frac{2 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{3 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right) \left(\frac{3 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{2 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right) - 4 \left(- \frac{2 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{3 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right) + 9 \left(\frac{3 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{2 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right)^{2} + 2 \left(\frac{3 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{2 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right) + 4 = 0$$
simplificamos
$$13 \tilde x^{2} + \frac{14 \sqrt{13} \tilde x}{13} - \frac{8 \sqrt{13} \tilde y}{13} + 4 = 0$$
$$\left(\sqrt{13} \tilde x + \frac{7}{13}\right)^{2} = \frac{8 \sqrt{13} \tilde y}{13} - \frac{627}{169}$$
$$\left(\tilde x + \frac{7 \sqrt{13}}{169}\right)^{2} = \frac{8 \sqrt{13} \left(\tilde y - \frac{627 \sqrt{13}}{1352}\right)}{169}$$
$$\tilde x'^{2} = \frac{8 \sqrt{13} \tilde y'}{169}$$
Esta ecuación es una parábola
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = 0 \frac{3 \sqrt{13}}{13} + 0 \left(- \frac{2 \sqrt{13}}{13}\right)$$
$$y_{0} = 0 \left(- \frac{2 \sqrt{13}}{13}\right) + 0 \frac{3 \sqrt{13}}{13}$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{3 \sqrt{13}}{13}, \ - \frac{2 \sqrt{13}}{13}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( \frac{2 \sqrt{13}}{13}, \ \frac{3 \sqrt{13}}{13}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$9 x^{2} - 12 x y + 2 x + 4 y^{2} - 4 y + 4 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 9$$
$$a_{12} = -6$$
$$a_{13} = 1$$
$$a_{22} = 4$$
$$a_{23} = -2$$
$$a_{33} = 4$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 13$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}9 & -6 & 1\\-6 & 4 & -2\\1 & -2 & 4\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}9 - \lambda & -6\\-6 & 4 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 13$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = -16$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 13 \lambda$$
$$K_{2} = 47$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
$$I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0$$
o
$$\frac{8 \sqrt{13} \tilde x}{13} + 13 \tilde y^{2} = 0$$
$$\tilde y^{2} = \frac{8 \sqrt{13}}{169} \tilde x$$
- está reducida a la forma canónica
$$9 x^{2} - 12 x y + 2 x + 4 y^{2} - 4 y + 4 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 9$$
$$a_{12} = -6$$
$$a_{13} = 1$$
$$a_{22} = 4$$
$$a_{23} = -2$$
$$a_{33} = 4$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 13$$
|9 -6|
I2 = | |
|-6 4 |$$I_{3} = \left|\begin{matrix}9 & -6 & 1\\-6 & 4 & -2\\1 & -2 & 4\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}9 - \lambda & -6\\-6 & 4 - \lambda\end{matrix}\right|$$
|9 1| |4 -2|
K2 = | | + | |
|1 4| |-2 4 |$$I_{1} = 13$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = -16$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 13 \lambda$$
$$K_{2} = 47$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
$$I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0$$
o
$$\frac{8 \sqrt{13} \tilde x}{13} + 13 \tilde y^{2} = 0$$
$$\tilde y^{2} = \frac{8 \sqrt{13}}{169} \tilde x$$
- está reducida a la forma canónica