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Forma canónica/ 9x^2-12xy+4y^2+2x-4y+4=0

9x^2-12xy+4y^2+2x-4y+4=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
                   2      2             
4 - 4*y + 2*x + 4*y  + 9*x  - 12*x*y = 0
9x2−12xy+2x+4y2−4y+4=09 x^{2} - 12 x y + 2 x + 4 y^{2} - 4 y + 4 = 0 
9*x^2 - 12*x*y + 2*x + 4*y^2 - 4*y + 4 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
9x2−12xy+2x+4y2−4y+4=09 x^{2} - 12 x y + 2 x + 4 y^{2} - 4 y + 4 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=9a_{11} = 9
a12=−6a_{12} = -6
a13=1a_{13} = 1
a22=4a_{22} = 4
a23=−2a_{23} = -2
a33=4a_{33} = 4
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣9−6−64∣\Delta = \left|\begin{matrix}9 & -6\\-6 & 4\end{matrix}\right|
Δ=0\Delta = 0
Como
Δ\Delta
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=−512\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{5}{12}
entonces
ϕ=−acot⁡(512)2\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{5}{12} \right)}}{2}
sin⁡(2ϕ)=−1213\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{12}{13}
cos⁡(2ϕ)=513\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{5}{13}
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=31313\cos{\left(\phi \right)} = \frac{3 \sqrt{13}}{13}
sin⁡(ϕ)=−21313\sin{\left(\phi \right)} = - \frac{2 \sqrt{13}}{13}
sustituimos coeficientes
x′=313x~13+213y~13x' = \frac{3 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{2 \sqrt{13} \tilde y}{13}
y′=−213x~13+313y~13y' = - \frac{2 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{3 \sqrt{13} \tilde y}{13}
entonces la ecuación se transformará de
9x′2−12x′y′+2x′+4y′2−4y′+4=09 x'^{2} - 12 x' y' + 2 x' + 4 y'^{2} - 4 y' + 4 = 0
en
4(−213x~13+313y~13)2−12(−213x~13+313y~13)(313x~13+213y~13)−4(−213x~13+313y~13)+9(313x~13+213y~13)2+2(313x~13+213y~13)+4=04 \left(- \frac{2 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{3 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right)^{2} - 12 \left(- \frac{2 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{3 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right) \left(\frac{3 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{2 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right) - 4 \left(- \frac{2 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{3 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right) + 9 \left(\frac{3 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{2 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right)^{2} + 2 \left(\frac{3 \sqrt{13} \tilde x}{13} + \frac{2 \sqrt{13} \tilde y}{13}\right) + 4 = 0
simplificamos
13x~2+1413x~13−813y~13+4=013 \tilde x^{2} + \frac{14 \sqrt{13} \tilde x}{13} - \frac{8 \sqrt{13} \tilde y}{13} + 4 = 0
(13x~+713)2=813y~13−627169\left(\sqrt{13} \tilde x + \frac{7}{13}\right)^{2} = \frac{8 \sqrt{13} \tilde y}{13} - \frac{627}{169}
(x~+713169)2=813(y~−627131352)169\left(\tilde x + \frac{7 \sqrt{13}}{169}\right)^{2} = \frac{8 \sqrt{13} \left(\tilde y - \frac{627 \sqrt{13}}{1352}\right)}{169}
x~′2=813y~′169\tilde x'^{2} = \frac{8 \sqrt{13} \tilde y'}{169}
Esta ecuación es una parábola
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
x0=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y0=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
x0=031313+0(−21313)x_{0} = 0 \frac{3 \sqrt{13}}{13} + 0 \left(- \frac{2 \sqrt{13}}{13}\right)
y0=0(−21313)+031313y_{0} = 0 \left(- \frac{2 \sqrt{13}}{13}\right) + 0 \frac{3 \sqrt{13}}{13}
x0=0x_{0} = 0
y0=0y_{0} = 0
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(31313, −21313)\vec e_1 = \left( \frac{3 \sqrt{13}}{13}, \ - \frac{2 \sqrt{13}}{13}\right)
e⃗2=(21313, 31313)\vec e_2 = \left( \frac{2 \sqrt{13}}{13}, \ \frac{3 \sqrt{13}}{13}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
9x2−12xy+2x+4y2−4y+4=09 x^{2} - 12 x y + 2 x + 4 y^{2} - 4 y + 4 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=9a_{11} = 9
a12=−6a_{12} = -6
a13=1a_{13} = 1
a22=4a_{22} = 4
a23=−2a_{23} = -2
a33=4a_{33} = 4
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=13I_{1} = 13
     |9   -6|
I2 = |      |
     |-6  4 |

I3=∣9−61−64−21−24∣I_{3} = \left|\begin{matrix}9 & -6 & 1\\-6 & 4 & -2\\1 & -2 & 4\end{matrix}\right|
I(λ)=∣9−λ−6−64−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}9 - \lambda & -6\\-6 & 4 - \lambda\end{matrix}\right|
     |9  1|   |4   -2|
K2 = |    | + |      |
     |1  4|   |-2  4 |

I1=13I_{1} = 13
I2=0I_{2} = 0
I3=−16I_{3} = -16
I(λ)=λ2−13λI{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 13 \lambda
K2=47K_{2} = 47
Como
I2=0∧I3≠0I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
I1y~2+2x~−I3I1=0I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0
o
813x~13+13y~2=0\frac{8 \sqrt{13} \tilde x}{13} + 13 \tilde y^{2} = 0
y~2=813169x~\tilde y^{2} = \frac{8 \sqrt{13}}{169} \tilde x
- está reducida a la forma canónica
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