Sr Examen

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x^2+7*y^2+2*z^2+8*x−20*z+200=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src]
       2             2      2          
200 + x  - 20*z + 2*z  + 7*y  + 8*x = 0
$$x^{2} + 8 x + 7 y^{2} + 2 z^{2} - 20 z + 200 = 0$$
x^2 + 8*x + 7*y^2 + 2*z^2 - 20*z + 200 = 0
Método de invariantes
Se da la ecuación de superficie de 2 grado:
$$x^{2} + 8 x + 7 y^{2} + 2 z^{2} - 20 z + 200 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{14} = 4$$
$$a_{22} = 7$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{24} = 0$$
$$a_{33} = 2$$
$$a_{34} = -10$$
$$a_{44} = 200$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
     |a11  a12|   |a22  a23|   |a11  a13|
I2 = |        | + |        | + |        |
     |a12  a22|   |a23  a33|   |a13  a33|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|$$
     |a11  a14|   |a22  a24|   |a33  a34|
K2 = |        | + |        | + |        |
     |a14  a44|   |a24  a44|   |a34  a44|

     |a11  a12  a14|   |a22  a23  a24|   |a11  a13  a14|
     |             |   |             |   |             |
K3 = |a12  a22  a24| + |a23  a33  a34| + |a13  a33  a34|
     |             |   |             |   |             |
     |a14  a24  a44|   |a24  a34  a44|   |a14  a34  a44|

sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 10$$
     |1  0|   |7  0|   |1  0|
I2 = |    | + |    | + |    |
     |0  7|   |0  2|   |0  2|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & 0\\0 & 7 & 0\\0 & 0 & 2\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}1 & 0 & 0 & 4\\0 & 7 & 0 & 0\\0 & 0 & 2 & -10\\4 & 0 & -10 & 200\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & 0 & 0\\0 & 7 - \lambda & 0\\0 & 0 & 2 - \lambda\end{matrix}\right|$$
     |1   4 |   |7   0 |   | 2   -10|
K2 = |      | + |      | + |        |
     |4  200|   |0  200|   |-10  200|

     |1  0   4 |   |7   0    0 |   |1   0    4 |
     |         |   |           |   |           |
K3 = |0  7   0 | + |0   2   -10| + |0   2   -10|
     |         |   |           |   |           |
     |4  0  200|   |0  -10  200|   |4  -10  200|

$$I_{1} = 10$$
$$I_{2} = 23$$
$$I_{3} = 14$$
$$I_{4} = 1876$$
$$I{\left(\lambda \right)} = - \lambda^{3} + 10 \lambda^{2} - 23 \lambda + 14$$
$$K_{2} = 1884$$
$$K_{3} = 3656$$
Como
I3 != 0

entonces por razón de tipos de rectas:
hay que
Formulamos la ecuación característica para nuestra superficie:
$$- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda - I_{3} + \lambda^{3} = 0$$
o
$$\lambda^{3} - 10 \lambda^{2} + 23 \lambda - 14 = 0$$
$$\lambda_{1} = 7$$
$$\lambda_{2} = 2$$
$$\lambda_{3} = 1$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\left(\tilde z^{2} \lambda_{3} + \left(\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2}\right)\right) + \frac{I_{4}}{I_{3}} = 0$$
$$7 \tilde x^{2} + 2 \tilde y^{2} + \tilde z^{2} + 134 = 0$$
$$\frac{\tilde z^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{1}{134} \sqrt{134}}\right)^{2}} + \left(\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{7} \sqrt{7}}{\frac{1}{134} \sqrt{134}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{2} \sqrt{2}}{\frac{1}{134} \sqrt{134}}\right)^{2}}\right) = -1$$
es la ecuación para el tipo elipsoide imaginario
- está reducida a la forma canónica