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Forma canónica/ (y-2)^2/9-(2x-6)^2/9=1

(y-2)^2/9-(2x-6)^2/9=1 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
               2           2    
     (-6 + 2*x)    (-2 + y)     
-1 - ----------- + --------- = 0
          9            9
−(2x−6)29+(y−2)29−1=0- \frac{\left(2 x - 6\right)^{2}}{9} + \frac{\left(y - 2\right)^{2}}{9} - 1 = 0 
-(2*x - 6)^2/9 + (y - 2)^2/9 - 1 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
−(2x−6)29+(y−2)29−1=0- \frac{\left(2 x - 6\right)^{2}}{9} + \frac{\left(y - 2\right)^{2}}{9} - 1 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=−49a_{11} = - \frac{4}{9}
a12=0a_{12} = 0
a13=43a_{13} = \frac{4}{3}
a22=19a_{22} = \frac{1}{9}
a23=−29a_{23} = - \frac{2}{9}
a33=−419a_{33} = - \frac{41}{9}
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣−490019∣\Delta = \left|\begin{matrix}- \frac{4}{9} & 0\\0 & \frac{1}{9}\end{matrix}\right|
Δ=−481\Delta = - \frac{4}{81}
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
43−4x09=0\frac{4}{3} - \frac{4 x_{0}}{9} = 0
y09−29=0\frac{y_{0}}{9} - \frac{2}{9} = 0
entonces
x0=3x_{0} = 3
y0=2y_{0} = 2
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=4x03−2y09−419a'_{33} = \frac{4 x_{0}}{3} - \frac{2 y_{0}}{9} - \frac{41}{9}
a33′=−1a'_{33} = -1
entonces la ecuación se transformará en
−4x′29+y′29−1=0- \frac{4 x'^{2}}{9} + \frac{y'^{2}}{9} - 1 = 0
Esta ecuación es una hipérbola
x~294−y~29=−1\frac{\tilde x^{2}}{\frac{9}{4}} - \frac{\tilde y^{2}}{9} = -1
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(3, 2)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(1, 0)\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)
e⃗2=(0, 1)\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
−(2x−6)29+(y−2)29−1=0- \frac{\left(2 x - 6\right)^{2}}{9} + \frac{\left(y - 2\right)^{2}}{9} - 1 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=−49a_{11} = - \frac{4}{9}
a12=0a_{12} = 0
a13=43a_{13} = \frac{4}{3}
a22=19a_{22} = \frac{1}{9}
a23=−29a_{23} = - \frac{2}{9}
a33=−419a_{33} = - \frac{41}{9}
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=−13I_{1} = - \frac{1}{3}
     |-4/9   0 |
I2 = |         |
     | 0    1/9|

I3=∣−49043019−2943−29−419∣I_{3} = \left|\begin{matrix}- \frac{4}{9} & 0 & \frac{4}{3}\\0 & \frac{1}{9} & - \frac{2}{9}\\\frac{4}{3} & - \frac{2}{9} & - \frac{41}{9}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣−λ−490019−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda - \frac{4}{9} & 0\\0 & \frac{1}{9} - \lambda\end{matrix}\right|
     |-4/9   4/3 |   |1/9   -2/9 |
K2 = |           | + |           |
     |4/3   -41/9|   |-2/9  -41/9|

I1=−13I_{1} = - \frac{1}{3}
I2=−481I_{2} = - \frac{4}{81}
I3=481I_{3} = \frac{4}{81}
I(λ)=λ2+λ3−481I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + \frac{\lambda}{3} - \frac{4}{81}
K2=−2581K_{2} = - \frac{25}{81}
Como
I2<0∧I3≠0I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2+λ3−481=0\lambda^{2} + \frac{\lambda}{3} - \frac{4}{81} = 0
λ1=19\lambda_{1} = \frac{1}{9}
λ2=−49\lambda_{2} = - \frac{4}{9}
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
x~29−4y~29−1=0\frac{\tilde x^{2}}{9} - \frac{4 \tilde y^{2}}{9} - 1 = 0
x~29−y~294=1\frac{\tilde x^{2}}{9} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{9}{4}} = 1
- está reducida a la forma canónica
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