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Forma canónica/ xx+24xy+108yy=0

xx+24xy+108yy=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
 2        2             
x  + 108*y  + 24*x*y = 0
x2+24xy+108y2=0x^{2} + 24 x y + 108 y^{2} = 0 
x^2 + 24*x*y + 108*y^2 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
x2+24xy+108y2=0x^{2} + 24 x y + 108 y^{2} = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=1a_{11} = 1
a12=12a_{12} = 12
a13=0a_{13} = 0
a22=108a_{22} = 108
a23=0a_{23} = 0
a33=0a_{33} = 0
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣11212108∣\Delta = \left|\begin{matrix}1 & 12\\12 & 108\end{matrix}\right|
Δ=−36\Delta = -36
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
x0+12y0=0x_{0} + 12 y_{0} = 0
12x0+108y0=012 x_{0} + 108 y_{0} = 0
entonces
x0=0x_{0} = 0
y0=0y_{0} = 0
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=0a'_{33} = 0
a33′=0a'_{33} = 0
entonces la ecuación se transformará en
x′2+24x′y′+108y′2=0x'^{2} + 24 x' y' + 108 y'^{2} = 0
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=−10724\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{107}{24}
entonces
ϕ=−acot⁡(10724)2\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{107}{24} \right)}}{2}
sin⁡(2ϕ)=−244812405\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{24 \sqrt{481}}{2405}
cos⁡(2ϕ)=1074812405\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{107 \sqrt{481}}{2405}
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=1074814810+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=−12−1074814810\sin{\left(\phi \right)} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}}
sustituimos coeficientes
x′=x~1074814810+12+y~12−1074814810x' = \tilde x \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}}
y′=−x~12−1074814810+y~1074814810+12y' = - \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}} + \tilde y \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}}
entonces la ecuación se transformará de
x′2+24x′y′+108y′2=0x'^{2} + 24 x' y' + 108 y'^{2} = 0
en
108(−x~12−1074814810+y~1074814810+12)2+24(−x~12−1074814810+y~1074814810+12)(x~1074814810+12+y~12−1074814810)+(x~1074814810+12+y~12−1074814810)2=0108 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}} + \tilde y \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}}\right)^{2} + 24 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}} + \tilde y \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde x \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}}\right) + \left(\tilde x \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}}\right)^{2} = 0
simplificamos
−11449481x~24810−24x~212−10748148101074814810+12+109x~22−214x~y~12−10748148101074814810+12+2568481x~y~2405+24y~212−10748148101074814810+12+11449481y~24810+109y~22=0- \frac{11449 \sqrt{481} \tilde x^{2}}{4810} - 24 \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}} \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}} + \frac{109 \tilde x^{2}}{2} - 214 \tilde x \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}} \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}} + \frac{2568 \sqrt{481} \tilde x \tilde y}{2405} + 24 \tilde y^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}} \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}} + \frac{11449 \sqrt{481} \tilde y^{2}}{4810} + \frac{109 \tilde y^{2}}{2} = 0
−5481x~22+109x~22+109y~22+5481y~22=0- \frac{5 \sqrt{481} \tilde x^{2}}{2} + \frac{109 \tilde x^{2}}{2} + \frac{109 \tilde y^{2}}{2} + \frac{5 \sqrt{481} \tilde y^{2}}{2} = 0
Esta ecuación es una hipérbola degenerada
x~2(1−1092+54812)2−y~2(11092+54812)2=0\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{- \frac{109}{2} + \frac{5 \sqrt{481}}{2}}}\right)^{2}} - \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{109}{2} + \frac{5 \sqrt{481}}{2}}}\right)^{2}} = 0
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(1074814810+12, −12−1074814810)\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}}, \ - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}}\right)
e⃗2=(12−1074814810, 1074814810+12)\vec e_2 = \left( \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}}, \ \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
x2+24xy+108y2=0x^{2} + 24 x y + 108 y^{2} = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=1a_{11} = 1
a12=12a_{12} = 12
a13=0a_{13} = 0
a22=108a_{22} = 108
a23=0a_{23} = 0
a33=0a_{33} = 0
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=109I_{1} = 109
     |1   12 |
I2 = |       |
     |12  108|

I3=∣1120121080000∣I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & 12 & 0\\12 & 108 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right|
I(λ)=∣1−λ1212108−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & 12\\12 & 108 - \lambda\end{matrix}\right|
     |1  0|   |108  0|
K2 = |    | + |      |
     |0  0|   | 0   0|

I1=109I_{1} = 109
I2=−36I_{2} = -36
I3=0I_{3} = 0
I(λ)=λ2−109λ−36I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 109 \lambda - 36
K2=0K_{2} = 0
Como
I3=0∧I2<0I_{3} = 0 \wedge I_{2} < 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola degenerada
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2−109λ−36=0\lambda^{2} - 109 \lambda - 36 = 0
λ1=1092−54812\lambda_{1} = \frac{109}{2} - \frac{5 \sqrt{481}}{2}
λ2=1092+54812\lambda_{2} = \frac{109}{2} + \frac{5 \sqrt{481}}{2}
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
x~2(1092−54812)+y~2(1092+54812)=0\tilde x^{2} \left(\frac{109}{2} - \frac{5 \sqrt{481}}{2}\right) + \tilde y^{2} \left(\frac{109}{2} + \frac{5 \sqrt{481}}{2}\right) = 0
x~2(1−1092+54812)2−y~2(11092+54812)2=0\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{- \frac{109}{2} + \frac{5 \sqrt{481}}{2}}}\right)^{2}} - \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{109}{2} + \frac{5 \sqrt{481}}{2}}}\right)^{2}} = 0
- está reducida a la forma canónica
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