Sr Examen
xx+24xy+108yy=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 x + 108*y + 24*x*y = 0
$$x^{2} + 24 x y + 108 y^{2} = 0$$
x^2 + 24*x*y + 108*y^2 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$x^{2} + 24 x y + 108 y^{2} = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = 12$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{22} = 108$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = 0$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}1 & 12\\12 & 108\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -36$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$x_{0} + 12 y_{0} = 0$$
$$12 x_{0} + 108 y_{0} = 0$$
entonces
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = 0$$
$$a'_{33} = 0$$
entonces la ecuación se transformará en
$$x'^{2} + 24 x' y' + 108 y'^{2} = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{107}{24}$$
entonces
$$\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{107}{24} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{24 \sqrt{481}}{2405}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{107 \sqrt{481}}{2405}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \tilde x \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}}$$
$$y' = - \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}} + \tilde y \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$x'^{2} + 24 x' y' + 108 y'^{2} = 0$$
en
$$108 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}} + \tilde y \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}}\right)^{2} + 24 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}} + \tilde y \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde x \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}}\right) + \left(\tilde x \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}}\right)^{2} = 0$$
simplificamos
$$- \frac{11449 \sqrt{481} \tilde x^{2}}{4810} - 24 \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}} \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}} + \frac{109 \tilde x^{2}}{2} - 214 \tilde x \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}} \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}} + \frac{2568 \sqrt{481} \tilde x \tilde y}{2405} + 24 \tilde y^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}} \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}} + \frac{11449 \sqrt{481} \tilde y^{2}}{4810} + \frac{109 \tilde y^{2}}{2} = 0$$
$$- \frac{5 \sqrt{481} \tilde x^{2}}{2} + \frac{109 \tilde x^{2}}{2} + \frac{109 \tilde y^{2}}{2} + \frac{5 \sqrt{481} \tilde y^{2}}{2} = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola degenerada
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{- \frac{109}{2} + \frac{5 \sqrt{481}}{2}}}\right)^{2}} - \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{109}{2} + \frac{5 \sqrt{481}}{2}}}\right)^{2}} = 0$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}}, \ - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}}, \ \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}}\right)$$
$$x^{2} + 24 x y + 108 y^{2} = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = 12$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{22} = 108$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = 0$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}1 & 12\\12 & 108\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -36$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$x_{0} + 12 y_{0} = 0$$
$$12 x_{0} + 108 y_{0} = 0$$
entonces
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = 0$$
$$a'_{33} = 0$$
entonces la ecuación se transformará en
$$x'^{2} + 24 x' y' + 108 y'^{2} = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{107}{24}$$
entonces
$$\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{107}{24} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{24 \sqrt{481}}{2405}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{107 \sqrt{481}}{2405}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \tilde x \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}}$$
$$y' = - \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}} + \tilde y \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$x'^{2} + 24 x' y' + 108 y'^{2} = 0$$
en
$$108 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}} + \tilde y \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}}\right)^{2} + 24 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}} + \tilde y \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde x \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}}\right) + \left(\tilde x \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}}\right)^{2} = 0$$
simplificamos
$$- \frac{11449 \sqrt{481} \tilde x^{2}}{4810} - 24 \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}} \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}} + \frac{109 \tilde x^{2}}{2} - 214 \tilde x \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}} \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}} + \frac{2568 \sqrt{481} \tilde x \tilde y}{2405} + 24 \tilde y^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}} \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}} + \frac{11449 \sqrt{481} \tilde y^{2}}{4810} + \frac{109 \tilde y^{2}}{2} = 0$$
$$- \frac{5 \sqrt{481} \tilde x^{2}}{2} + \frac{109 \tilde x^{2}}{2} + \frac{109 \tilde y^{2}}{2} + \frac{5 \sqrt{481} \tilde y^{2}}{2} = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola degenerada
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{- \frac{109}{2} + \frac{5 \sqrt{481}}{2}}}\right)^{2}} - \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{109}{2} + \frac{5 \sqrt{481}}{2}}}\right)^{2}} = 0$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}}, \ - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{107 \sqrt{481}}{4810}}, \ \sqrt{\frac{107 \sqrt{481}}{4810} + \frac{1}{2}}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$x^{2} + 24 x y + 108 y^{2} = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = 12$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{22} = 108$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = 0$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 109$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & 12 & 0\\12 & 108 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & 12\\12 & 108 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 109$$
$$I_{2} = -36$$
$$I_{3} = 0$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 109 \lambda - 36$$
$$K_{2} = 0$$
Como
$$I_{3} = 0 \wedge I_{2} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola degenerada
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 109 \lambda - 36 = 0$$
$$\lambda_{1} = \frac{109}{2} - \frac{5 \sqrt{481}}{2}$$
$$\lambda_{2} = \frac{109}{2} + \frac{5 \sqrt{481}}{2}$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$\tilde x^{2} \left(\frac{109}{2} - \frac{5 \sqrt{481}}{2}\right) + \tilde y^{2} \left(\frac{109}{2} + \frac{5 \sqrt{481}}{2}\right) = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{- \frac{109}{2} + \frac{5 \sqrt{481}}{2}}}\right)^{2}} - \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{109}{2} + \frac{5 \sqrt{481}}{2}}}\right)^{2}} = 0$$
- está reducida a la forma canónica
$$x^{2} + 24 x y + 108 y^{2} = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = 12$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{22} = 108$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = 0$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 109$$
|1 12 |
I2 = | |
|12 108|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & 12 & 0\\12 & 108 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & 12\\12 & 108 - \lambda\end{matrix}\right|$$
|1 0| |108 0|
K2 = | | + | |
|0 0| | 0 0|$$I_{1} = 109$$
$$I_{2} = -36$$
$$I_{3} = 0$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 109 \lambda - 36$$
$$K_{2} = 0$$
Como
$$I_{3} = 0 \wedge I_{2} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola degenerada
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 109 \lambda - 36 = 0$$
$$\lambda_{1} = \frac{109}{2} - \frac{5 \sqrt{481}}{2}$$
$$\lambda_{2} = \frac{109}{2} + \frac{5 \sqrt{481}}{2}$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$\tilde x^{2} \left(\frac{109}{2} - \frac{5 \sqrt{481}}{2}\right) + \tilde y^{2} \left(\frac{109}{2} + \frac{5 \sqrt{481}}{2}\right) = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{- \frac{109}{2} + \frac{5 \sqrt{481}}{2}}}\right)^{2}} - \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\sqrt{\frac{109}{2} + \frac{5 \sqrt{481}}{2}}}\right)^{2}} = 0$$
- está reducida a la forma canónica